-t

Δευτέρα, 25 Απριλίου 2016

Ερωτηματολόγιο έρευνας στις Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά

Ερωτηματολόγιο έρευνας στις Μαθησιακές Δυσκολίες 
στα Μαθηματικά


Θα σας παρακαλούσα να αφιερώσετε λίγο από το χρόνο σας και να συμπληρώσετε το παρακάτω ερωτηματολόγιο.

Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά
Η παρούσα έρευνα διενεργείται από τους φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης στο πλαίσιο του μαθήματος <<Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες στην εκπαίδευση>>.

*Με τον όρο Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά (ΜΔΜ) εννοούμε τις Ειδικές Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά (Δυσαριθμησία /Dyscalculia)







Παρασκευή, 15 Απριλίου 2016

Η ιστορία του Εβαρίστ Γκαλουά



Η ιστορία του Εβαρίστ Γκαλουά

galois

Άτυχος και ιδιοφυής, ο Γάλλος Évariste Galois (1811-1832). Η πορεία του παρόμοια με του Νορβηγού μαθηματικού Niels Abel (1802-1829) αν και δεν συναντήθηκαν ποτέ, οι ζωές και το έργο τους τέμνονται μέσα από μια σειρά συμπτώσεων.

Évariste Galois
Évariste Galois

Ο Évariste Galois (Εβαρίστ Γκαλουά) γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου του 1811, στο Bourg–la–Reine. Ο πατέρας του ήταν δημοκρατικός, στέλεχος του Φιλελεύθερου Κόμματος, και από το 1814 δήμαρχος του χωριού. Η μητέρα του ήξερε λατινικά και διάβαζε τους κλασικούς στο πρωτότυπο. Αυτή ήταν η πρώτη του δασκάλα.

Το 1823, ο μικρός Évariste έγινε δεκτός με υποτροφία στο Lycée Louis–le–Grand, δημόσιο σχολείο της δεύτερης βαθμίδας στο Παρίσι. Στα πρώτα δύο χρόνια τα πήγαινε τόσο καλά που τον προώθησαν στην τάξη της ρητορικής, την οποία παρακολουθούσαν οι καλύτεροι μαθητές. Και τότε διάβασε τα Στοιχεία Γεωμετρίας του Adrien–Marie Legendre (του Γάλλου μαθηματικού που είχε πει για τον Abel «τι μυαλό έχει αυτός ο νεαρός Νορβηγός – πρώτη σύμπτωση) και ερωτεύτηκε τα μαθηματικά. Πάει η ρητορική.

Έπεσε με τα μούτρα στο διάβασμα, ρούφηξε τα βιβλία του Joseph–Louis Lagrange και, φύσει παρορμητικός, αποφάσισε να δώσει εισαγωγικές εξετάσεις στην École polytechnique. Έφαγε τα μούτρα του γιατί δεν είχε προετοιμαστεί για τέτοιες εξετάσεις. Οι εξεταστές δεν τον κατάλαβαν. Επέστρεψε με βαριά καρδιά στο Louis–le–Grand, αλλά δεν είχε μυαλό παρά μόνο για μαθηματικά. Σύμφωνα με τον καθηγητή του των μαθηματικών Vernier, «Τον έχει καταλάβει ένα απέραντο πάθος για τα μαθηματικά. Νομίζω θα ήταν καλύτερο, αν συμφωνούν οι γονείς του, να σπουδάσει μόνο αυτή την επιστήμη: ως σπουδαστής στην τάξη της ρητορικής σπαταλά τον χρόνο του, ενοχλεί τους καθηγητές και επισύρει την οργή και τιμωρίες.» Είχε αρχίσει να σπάει νεύρα στο σχολείο. Εντωμεταξύ, συνεχίζοντας την οικογενειακή δημοκρατική παράδοση, αναμείχθηκε και στην πολιτική με πάθος. Για να γλιτώσουν απ’ αυτόν, η διοίκηση του επέτρεψε να κάνει μόνο μαθηματικά, με τον Louis–Paul Richard, σύμφωνα με τον οποίο, «Ο Galois ασχολείται μονάχα με θέματα ανώτερων μαθηματικών». Στην εφηβεία του αυτά. Κάπου εκεί διάβασε ό,τι βρήκε από τα άρθρα του Abel και εντυπωσιάστηκε (δεύτερη σύμπτωση).

Augustin-Louis_Cauchy
Augustin-Louis_Cauchy

Το 1829, στα 18 του, δημοσίευσε την πρώτη του εργασία (περί των συνεχών κλασμάτων) και την υπέβαλε, μαζί με κάποιες άλλες, στην Académie des sciences για κρίση. Ο μέγας (αλλά ιδιόρρυθμος) Augustin–Louis Cauchy υποσχέθηκε να τις παρουσιάσει, αλλά το ξέχασε. Κι από πάνω, έχασε και τα χειρόγραφα! (Ήταν ο ίδιος αυτός Cauchy που είχε χάσει και το χειρόγραφο του Abel με το θεώρημα για μια γενική ιδιότητα των υπερβατικών συναρτήσεων – τρίτη σύμπτωση.) Ο Évariste, όχι ο ευκολότερος χαρακτήρας στον κόσμο, είχε ήδη αρχίσει να τα παίρνει χοντρά.

Το καλοκαίρι της ίδιας χρονιάς, καθώς προετοιμάζεται για να ξαναδώσει στην École polytechnique, ο πατέρας του, μην αντέχοντας τις πιέσεις του τοπικού κλήρου και το κυνήγι των Ιησουιτών, αυτοκτόνησε. Μεγάλο το πλήγμα για τον νεαρό. Λίγες βδομάδες αργότερα, πήγε να δώσει τις ίδιες εισαγωγικές εξετάσεις για δεύτερη φορά. Απέτυχε και πάλι. Αυτή τη φορά όχι επειδή δεν ήταν προετοιμασμένος, αλλά επειδή οι εξεταστές του δεν καταλάβαιναν τι τους έλεγε· εκείνοι περίμεναν έναν τυπικό επίδοξο προπτυχιακό φοιτητή, κι εκείνος τους έδειχνε μαθηματικά που τους ξεπερνούσαν. (Αθλητική αναλογία: εκείνοι τον ρωτούσαν να τους πει πόσο διαρκεί μία επίθεση στο μπάσκετ, κι εκείνος τους απαντούσε πώς αντιμετωπίζεται η τριγωνική επίθεση. Μιλούσαν διαφορετικές γλώσσες.) Ο μικρός τούς είχε βάλει δύσκολα κι εκείνοι προσπάθησαν να ξεφύγουν από τη διάνοιά του προτάσσοντας τον σχολαστικισμό τους (αγαπημένη τακτική του ακαδημαϊκού ιερατείου – διαχρονικά). Ο Galois απασφάλισε κατά τη διάρκεια της προφορικής εξέτασης. Αργότερα είπε ότι του την έδωσε που οι εξεταστές διέκοπταν τις απαντήσεις του γελώντας σαν τρελοί. Κάποια στιγμή δεν άντεξε, πέταξε το σφουγγάρι στα μούτρα ενός εξεταστή και σηκώθηκε κι έφυγε.

Ancienne école Polytechnique
Ancienne école Polytechnique

Οι ακαδημαϊκοί τον είχαν απογοητεύσει, αλλά εκείνος συνέχισε να παράγει ανώτερα μαθηματικά. Στο μυαλό του, όσοι είχαν εξουσία (είτε μαθηματικοί είτε πολιτικοί) ήθελαν κρέμασμα. Παράλληλα, μπήκε ακόμα πιο βαθιά στην πολιτική, φανατικά στο πλευρό των αντιβασιλικών. (Μοιραία επιλογή: λάθος εποχή να είσαι αντιβασιλικός στη Γαλλία της δεύτερης δεκαετίας του 19ου αιώνα.)

Joseph Fourier
Joseph Fourier

Στις αρχές 1830 ολοκλήρωσε άλλες τρεις εργασίες και τις υπέβαλε πάλι για κρίση στην Académie des sciences, στο πλαίσιο του διαγωνισμού για το Μεγάλο Βραβείο των Μαθηματικών. (Το δις εξαμαρτείν ουκ Évariste σοφού.) Αυτή τη φορά, ήταν ο σπουδαίος μαθηματικός Joseph Fourier, τότε γραμματέας της Ακαδημίας Επιστημών, που υποσχέθηκε να τις διαβάσει. Αλλά δεν πρόλαβε: πέθανε τον Μάιο. Και το κερασάκι: τα χειρόγραφα του Galois δεν βρέθηκαν στο γραφείο του Fourier. Είχαν εξαφανιστεί. Πάλι!

Πόσα να αντέξει ο άνθρωπος; Και όμως, ξαναπροσπάθησε. Έκατσε και ξανάγραψε την εργασία που δεν πρόλαβε να δει ο Fourier και την υπέβαλε ξανά για κρίση στην Ακαδημία. Κριτές αυτή τη φορά οι Lacroix και Poisson. Μετά από αφύσικα μεγάλο χρονικό διάστημα, ο Galois έμαθε ότι το χειρόγραφό του είχε απορριφθεί. (Πάλι καλά που δεν χάθηκε ξανά. Ήταν κι αυτή μια πρόοδος.) Στο σκεπτικό της απόρριψης, ο Lacroix σημείωνε: «Η απόδειξη δεν ήταν ούτε αρκετά καθαρή ούτε αρκετά αναπτυγμένη ώστε να μας επιτρέψει να κρίνουμε την ακρίβειά της». Ο Galois είχε το ελάττωμα (ή το προτέρημα, κατά Gauss) να μην αναπτύσσει λεπτομερώς κάποια ενδιάμεσα βήματα, κατά την κρίση του βαρετά ή/και αυτονόητα. (Επειδή οι ιδιοφυείς άνθρωποι βρίσκονται κατά κανόνα στον κόσμο τους, απαιτείται μία ιδιαίτερη δεξιότητα από μέρους του περίγυρου προκειμένου οι χαρισματικοί να παραμείνουν στον κόσμο τους και να δημιουργούν απερίσπαστοι. Αυτή η δεξιότητα γενικά δεν ευδοκιμεί στην ακαδημαϊκή κοινότητα.) Τέλος πάντων, ο Galois κατάλαβε ότι δεν πρόκειται να βγάλει άκρη με την ακαδημαϊκή μούχλα και τα παράτησε. Όχι τα μαθηματικά – τις προσπάθειες να αναγνωριστεί το έργο του. Τα μαθηματικά τα συνέχισε, περισσότερο στο μυαλό του παρά στο χαρτί, γιατί εντωμεταξύ του συνέβησαν διάφορα. Το 1831 τον συνέλαβαν δύο φορές. Την πρώτη τον Μάιο, για συνωμοσία δολοφονίας του βασιλιά Louis–Philippe I. Τι είχε συμβεί; Ο Galois ανήκε σε μια μονάδα πυροβολικού της Εθνοφρουράς που ήταν γνωστή, ως σύνολο, για τα αντιβασιλικά της φρονήματα. Ο βασιλιάς καλού-κακού διέλυσε τη μονάδα και πέρασε από δίκη 19 αξιωματικούς της. Οι ανυπόστατες κατηγορίες κατέπεσαν στο δικαστήριο. Η συγκέντρωση που οργανώθηκε για να εορταστεί το γεγονός εξελίχθηκε σε οιονεί εξέγερση. Την επομένη, συνέλαβαν τον Galois επειδή στη συγκέντρωση, λέει, έκανε πρόποση στο όνομα του βασιλιά, έχοντας τοποθετήσει ένα μαχαίρι πάνω στην κούπα του. Άρα; Σχεδίαζε να τον σκοτώσει! Το δικαστήριο τον αθώωσε από την αστεία κατηγορία.

653px-Révolution_de_1830_-_Combat_devant_l'hôtel_de_ville_-_28.07.1830
653px-Révolution_de_1830_-_Combat_devant_l'hôtel_de_ville_-_28.07.1830

Όμως, τη δεύτερη φορά δεν τη γλίτωσε τη φυλακή. Τον Ιούλιο ο Galois πήρε μέρος σε μια αντιβασιλική διαδήλωση, πρώτος-πρώτος, φορώντας τη στολή του γνωστού (και διαλυμένου) τάγματος πυροβολικού, πράγμα το οποίο απαγορευόταν. Εκτός αυτού, ήταν οπλισμένος σαν αστακός, με διάφορα πιστόλια, τουφέκι και μαχαίρι. Ευκαιρία ζητούσαν οι βασιλικοί, που έτσι κι αλλιώς συλλάμβαναν τους αντιφρονούντες προληπτικά για να αποτρέψουν μία ενδεχόμενη εξέγερσή τους: νέα σύλληψη του Galois. Και ποινή φυλάκισης έξι μηνών. Στη φυλακή δεν κάθισε με σταυρωμένα χέρια: έκανε μαθηματικά. Ίσως και τα περισσότερα της (σύντομης) ζωής του γιατί δεν είχε και τι άλλο να κάνει.

Παραθέτω έναν αδημοσίευτο πρόλογο γραμμένο από τον ίδιο τον Galois το 1832 (στη φυλακή ή αμέσως μετά την αποφυλάκισή του) γιατί, εκτός της ιστορικής του αξίας (και μιας ανεκτίμητης συναδελφικής αναφοράς στον Abel), παρουσιάζει ανάγλυφα το πώς αισθανόταν ο εικοσάχρονος μαθηματικός για όλα όσα είχαν προηγηθεί:

Πρώτα απ’ όλα, η προμετωπίδα αυτού του πονήματος δεν βαρύνεται με ονόματα, ιδιότητες, τίτλους και ελεγείες, με σκοπό να ευαρεστηθεί κάποιος άθλιος πρίγκιπας να ανοίξει το πορτοφόλι του – με τη συνεχή απειλή να το ξανακλείσει μόλις σταματήσει ο λιβανωτός. Δεν θα δείτε γραμμένη με χαρακτήρες τρεις φορές μεγαλύτερους απ’ το κείμενο την ταπεινή εκδήλωση σεβασμού προς κάποιο πρόσωπο υψηλά ιστάμενο στην επιστημονική ιεραρχία, κάποιο σοφό προστάτη – κάτι απαραίτητο (αναπόφευκτο θα έλεγα) για έναν εικοσάχρονο νεαρό που επιθυμεί να γράφει. Δεν λέω σε κανέναν ότι οφείλω στις συμβουλές και στις παροτρύνσεις του όλα τα καλά που περιέχει η εργασία μου. Δεν το λέω, γιατί θα ήταν ψέμα. Αν θα ήθελα να απευθύνω τον λόγο στους μεγάλους του κόσμου, ή τους μεγάλους της επιστήμης (στην εποχή μας η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο τάξεων ανθρώπων είναι μάλλον ανεπαίσθητη), ασφαλώς δεν θα ήταν για να τους ευχαριστήσω. Στους μεν οφείλεται το ότι δημοσίευσα την πρώτη από αυτές τις εργασίες τόσο καθυστερημένα, στους δε ότι την έγραψα στη φυλακή, ένα μέρος εντελώς ακατάλληλο για διανοητική εργασία, και θαυμάζω τον εαυτό μου για την αυτοσυγκράτηση που έδειξε κρατώντας το στόμα του κλειστό μπροστά στην κακεντρέχεια των ηλιθίων και αδαών· ελπίζω η λέξη “αδαείς” να μην θεωρηθεί ιδιαίτερα απρεπής, δεδομένου ότι οι αντίπαλοί μου είναι κατ’ εμέ αναξιοπρεπείς. Δεν είναι του παρόντος να αναφερθώ στους λόγους, για τους οποίους βρέθηκα στη φυλακή, αλλά πρέπει οπωσδήποτε να πω ότι τα χειρόγραφά μου χάθηκαν επανειλημμένως απ’ τα συρτάρια των αξιότιμων μελών του Ινστιτούτου, αν και ειλικρινά δεν μπορεί να χωρέσει στο μυαλό μου μια τέτοια επίδειξη απερισκεψίας εκ μέρους εκείνων που έχουν στη συνείδησή τους τον θάνατο του Άμπελ. Όσο για μένα, που είμαι εντελώς ασήμαντος σε σύγκριση μ’ εκείνον τον έξοχο μαθηματικό, αρκεί να πω ότι η θεωρία μου για τις εξισώσεις κατατέθηκε σε χειρόγραφο στην Ακαδημία Επιστημών τον Φεβρουάριο του 1830, ότι αποσπάσματά της είχαν ήδη σταλεί το 1829, ότι δεν έγινε καμία αναφορά σε αυτήν και ότι κατέστη αδύνατον να βρεθεί το χειρόγραφο.i

Εντούτοις, όταν αποφυλακίστηκε, ήταν ψυχικά καταρρακωμένος. Ούτε στα μαθηματικά ούτε στην πολιτική πήγαιναν τα πράγματα όπως επιθυμούσε. Και σαν μην έφταναν όλα αυτά, πήγε κι ερωτεύτηκε από πάνω! Μα ούτε και στον έρωτα βρήκε γιατρειά. Δεν είναι γνωστές οι λεπτομέρειες των θλιβερών περιστατικών που οδήγησαν στον πρόωρο θάνατό του, συνεπώς θα αρκεστούμε σε ενδείξεις, εικασίες και αντικρουόμενες μαρτυρίες.

Φαίνεται πώς ο Galois ερωτεύτηκε μία δεσποσύνη ονόματι Stéphanie–Félicie Poterin du Motel. Ήταν κόρη ενός γιατρού, η οικογένεια του οποίου έμενε στην ίδια πανσιόν όπου πέρασε και ο Galois τους τελευταίους μήνες της ζωής του. Στην αλληλογραφία του προς φίλους δεν αναφέρει το όνομα της νεαρής (από τακτ, τρομάρα του) κι έτσι δεν είναι σίγουρο ότι πρόκειται για την Stéphanie. Όποια κι αν ήταν η αξιέραστος κόρη, το βέβαιο είναι ότι ο νεαρός είχε δαγκώσει τη λαμαρίνα μαζί με το ελενίτ. Από κάτι υπαινιγμούς στην αλληλογραφία του, προκύπτει ότι η περί ης ο λόγος τού είχε εκμυστηρευτεί κάποια μυστικά της, γεγονός που κάποιος άλλος έκρινε ως λόγο ικανό να καλέσει στις 29 Μαΐου του 1832 τον Galois σε μονομαχία την επόμενη μέρα. Ποιος ήταν αυτός ο άλλος; Κατά μία εκδοχή (οφειλόμενη στον Alexandre Dumas) ήταν κάποιος Pescheux d’Herbinville, μνηστήρας της Stéphanie. Κατά μία άλλη εκδοχή, ήταν κάποιος πολιτικός του συνοδοιπόρος, ίσως ο Ernest Duchatelet, με τον οποίο έκανε μαζί στη φυλακή, εκτίοντας την ίδια ποινή και για τις ίδιες κατηγορίες.

Όποιος κι αν ήταν ο εγκαλών, ο λόγος της μονομαχίας ήταν γυναικοδουλειά (cherche la femme, που λένε και οι Γάλλοι, κάτοχοι των πνευματικών δικαιωμάτων περί τα τοιαύτα): ο Galois έγραψε σε ένα από τα γράμματα της προτελευταίας του νύχτας: «Πεθαίνω και γι’ αυτό φταίει μια άθλια πόρνη. Η ζωή μου θα τελειώσει σε μία απαίσια μονομαχία». Το σκοτεινό αντικείμενο του πόθου ενίοτε αποδεικνύεται σκοτεινό υποκείμενο. (Και τότε δεν σε σώζουν ούτε όλα τα μαθηματικά τού κόσμου).

Στις 30 Μαΐου του 1832, λίγο μετά τα χαράματα, οι δύο μονομάχοι συναντήθηκαν στο προκαθορισμένο μέρος. Διάλεξαν πιστόλια και στάθηκαν αντιμέτωποι σε απόσταση 25 βημάτων. Ο Galois χτυπήθηκε στην κοιλιά. Πέθανε στο νοσοκομείο το μεσημέρι της επόμενης μέρας, 31 Μαΐου, από οξεία περιτονίτιδα. Ήταν 20 χρονών. Τα τελευταία του λόγια ήταν προς τον Alfred, τον νεαρότερο αδερφό του: “Ne pleure pas, Alfred! J’ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans”. («Μην κλαις, Alfred! Χρειάζομαι όλο μου το κουράγιο για να πεθάνω είκοσι χρονών».)

Duel_pistolet
Duel_pistolet

Τη νύχτα πριν τη μοιραία μονομαχία, ο Galois δεν κοιμήθηκε· την πέρασε γράφοντας γράμματα στους φίλους του. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γράμμα προς τον καλύτερό του φίλο, τον Auguste Chevalier, κι αυτό γιατί περιέχει το διασημότερο έργο του Galois στα μαθηματικά: τις βασικές κατευθύνσεις της θεωρίας που σήμερα είναι γνωστή ως Θεωρία Γκαλουά. Επειδή ήθελε να προλάβει να τελειώσει πριν ξημερώσει, παρέλειπε πολλά βήματα της ανάλυσής του, τα οποία συμπλήρωσαν με τα χρόνια άλλοι μαθηματικοί. Άφηνε επίσης οδηγίες στον Chevalier να δώσει το χειρόγραφο είτε στον Jacobi είτε στον Gauss. Στα περιθώρια του χειρόγραφου είχε γράψει πολλές φορές: «δεν έχω χρόνο· δεν έχω χρόνο». Η συγκλονιστικότερη πνευματική διαθήκη στην ιστορία των μαθηματικών.

Άτυχος ο Évariste Galois. Ενδεχομένως και παλιοχαρακτήρας, αλλά αυτό δεν μειώνει ούτε τη διάνοια ούτε τη συνεισφορά του. Άλλωστε, ούτε και ο Niels Abel, που ήταν παιδί-μάλαμα, είδε χαΐρι και προκοπή, όπως ίσως θυμάστε. Αναρωτιέται κανείς τι έχασαν τα μαθηματικά από τον πρόωρο χαμό αυτών των δύο. Τιμώντας τούς εν αγνοία τους Διόσκουρους, θα κλείσω με μια αναφορά στο πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο, μια σελίδα των μαθηματικών όπου το έργο τους τέμνεται και αλληλοσυμπληρώνεται.

Ο Abel είχε αποδείξει ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο με βαθμό μεγαλύτερο του τετάρτου δεν μπορεί να επιλυθεί με ριζικά οποιασδήποτε τάξης. Γενικά μιλώντας, έτσι είναι τα πράγματα. Ωστόσο κάποιες συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις μπορούν να επιλυθούν. Η μέθοδος της επίλυσης (δηλαδή, οι ορισμένες προϋποθέσεις) βρέθηκε από τον Galois. Μια γενική μέθοδος που έκλεινε το θέμα. Η εύρεσή της, βέβαια, δεν έγινε εν κενώ: είχε προηγηθεί η δουλειά των Lagrange και Cauchy, και ασφαλώς του Abel. Αλλά ήταν ο Galois αυτός που έβαλε τελεία και παύλα στο ζήτημα. Ο Joseph Liouville, όταν δημοσίευσε μεγάλος μέρος της δουλειάς του Galois στο Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Περιοδικό για τα Καθαρά και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά) το 1846, σημείωσε ότι ο Galois είχε αποδείξει «το υπέροχο θεώρημα ότι για να είναι επιλύσιμη με ριζικά μια ανάγωγη εξίσωση που ο βαθμός της είναι πρώτος αριθμός, αναγκαία και ικανή συνθήκη είναι όλες οι ρίζες να είναι ρητές συναρτήσεις οποιωνδήποτε δύο από αυτά». Κάτι τέτοιο είναι αδύνατον για την πεμπτοβάθμια εξίσωση, συνεπώς αυτή δεν επιλύεται με ριζικά. QED.

O Abel ευχαριστεί και ο Galois ανταποδίδει.

This is the last page of letter from Évariste Galois, French mathematician, to his friend Auguste Chevalier. Galois wrote this on the night before the duel to death.

This is the last page of letter from Évariste Galois, French mathematician, to his friend Auguste Chevalier. Galois wrote this on the night before the duel to death.
( Η τελευταία σελίδα του περίφημου γράμματος του Galois προς τον Chevalier. )


Ενα μαθηματικό ταξίδι δίχως τέλος – Η απέραντη γεωμετρία των φράκταλς [βίντεο]

Ενα μαθηματικό ταξίδι δίχως τέλος – Η απέραντη γεωμετρία των φράκταλς [βίντεο]




Μια βαρετή επιστήμη, με την ικανότητα να εξηγεί αυστηρά την έννοια του χώρου, αλλά χωρίς την παραμικρό ίχνος μυστηρίου. Σημεία, καμπύλες, επιφάνειες ή ο,τι άλλο πάνω στον γεωμετρικό χάρτη, είχε αρχή και τέλος. Ολα αυτά μέχρι η φαντασία του κ. Μάντελμπροτ να εισάγει την έννοια των φράκταλς.
Τα φράκταλς και η έννοια του απείρου – Το ενδιαφέρον στοιχείο μιας... άχαρης επιστήμης
Σε έναν άνθρωπο που δεν ασχολείται με τα μαθηματικά, η επιστήμη της γεωμετρίας δεν μπορεί να προσφέρει κανένα ίχνος ενδιαφέροντος. Αυτό είναι απολύτως λογικό. Γιατί άλλωστε ένας κύκλος ή ένα τρίγωνο να αποτελέσουν αφορμή σοβαρής συζήτησης ή έρευνας; Ακόμα και για αρκετούς μαθηματικούς το γεωμετρικό κομμάτι των σπουδών τους είναι κάτι σαν τα λαχανικά σε παιδικό γεύμα. Αδιάφορα και άνοστα. Με τον καιρό όμως, το πεδίο της γεωμετρικής επιστήμης άρχισε να πλαισιώνεται από έννοιες ικανές να διεγείρουν την φαντασία.

Το «άπειρο» που στην αρχική, διαισθητική φύση της γεωμετρίας δεν είχε κανένα λόγο ύπαρξης, άρχισε να εμφανίζεται διακριτικά. Η ευκλείδεια γεωμετρία δεν αποτελούσε πια δόγμα, ενώ ακόμα και τα βασικά της αξιώματα αμφισβητήθηκαν. Δημιουργήθηκαν καινούργιες θεωρίες που εξηγούν τον χώρο, εξίσου αποτελεσματικά. Με από... ατελείωτα χρόνια προσπάθειας, το 1975 έγινε το τελικό βήμα. Η έννοια του απείρου εισχώρησε στο γεωμετρικό κόσμο, με τον πιο μεγαλοπρεπή τρόπο. Τα φράκταλς που επινοήθηκαν από τον Γαλλοαμερικανό μαθηματικό Μπενουά Μάντελμπροτ ήταν η πολυπόθητη σύνδεση της γεωμετρίας, της επιστήμης του «υπαρκτού» και του «πεπερασμένου», με το πιο απέραντο στοιχείο των μαθηματικών.
Τα μοναδικά χαρακτηριστικά των φράκταλς που άλλαξαν τα δεδομένα της γεωμετρίας
Βλέποντας κάποιο σχήμα, ένας μαθηματικός φαντάζεται πως μπορεί να υπολογίσει, ή τουλάχιστον να προσεγγίσει, κάθε στοιχείο του. Μέχρι και το 1975 δεν είχε επινοηθεί κάποια μορφή που να ξέφευγε από τα όρια του πεπερασμένου. Τα φράκταλς όμως άλλαξαν τις ισορροπίες της γεωμετρίας, εξαφανίζοντας παράλληλα την «υπεροψία» των μαθηματικών για αυτήν. Είχαν πλέον προκύψει σχήματα που εμπεριείχαν την έννοια του απείρου. Οχι όμως σαν τις γραμμές και τις  καμπύλες που έτειναν στο άπειρο. Σχήματα που εμφάνιζαν μέσα στις γωνίες και στις πλευρές τους την πιο ευδιάκριτη μορφή του απείρου, σχήματα με άπειρη φύση.
Με ποιο τρόπο όμως εμφανίζουν αυτή την «άπειρη» φύση τα φράκταλς; Τα δημιουργήματα του κ. Μάντελμπροτ , είναι σχήματα τα οποία επαναλαμβάνονται αυτούσια, όσες φορές και να μεγεθύνονται. Εικόνες που αν κάποιος τοποθετήσει κάτω από ένα... μικροσκόπιο και εμβαθύνει όλο και πιο πολύ, θα παρατηρήσει ότι κάθε πτυχή της αποτελείται από ακριβώς τον ίδιο σχηματισμό σε μικρότερη «κλίμακα». Το ξεχωριστό χαρακτηριστικό των φράκταλς ονομάζεται «αυτο-ομοιότητα», ενώ κάποιοι ακόμα συνηθίζουν να τα αποκαλούν «μαγικές εικόνες».
Το άπειρο μέσα... σε καθημερινά αντικείμενα – Η δυσκολοχώνευτη, νέα γεωμετρία
Το χαρακτηριστικό της αυτο-ομοιότητας είναι αυτό που διαφοροποιεί τα φράκταλς από τα υπόλοιπα σχήματα. Αυτό που κάνει την Ευκλείδεια γεωμετρία ανίκανη να τα αντιμετωπίσει. Αν πάρουμε οποιοδήποτε άλλο σχήμα και το μεγεθύνουμε σε άπειρο βαθμό, τότε απλουστεύεται σημαντικά. Για παράδειγμα οποιαδήποτε καμπύλη, περιορισμένη σε ένα ελάχιστο διάστημα της, χάνει την «καμπυλότητα» της και μετατρέπεται σε ευθεία. Αυτό δεν ισχύει με τα σχήματα του Γαλλοαμερικανού μαθηματικού, καθώς όσο βαθειά και να ταξιδέψει κανείς μέσα τους εμφανίζουν την ίδια φύση.
Η «φρακταλική» γεωμετρία ήρθε να γενικεύσει την τις κλασσικές γεωμετρικές θεωρίες. Μέσω αυτής μπορούσαν πλέον να εξηγηθούν τα πολύπλοκα σχήματα που μέχρι και 40 χρόνια πριν δεν γινόταν ούτε να προσεγγιστούν. Σχήματα που αρκετές φορές προέκυπταν από την ίδια την φύση, η οποία είναι γνωστό πως έχει πολύπλοκο χαρακτήρα. Για παράδειγμα, ένας κεραυνός παρουσιάζει στοιχεία αυτο-ομοιότητας. Αντίστοιχα, ένα σύννεφο αλλά ακόμα και ένα ανθρώπινο νεφρό εμφανίζουν ακριβώς την ίδια δομή όσο και να εμβαθύνει κανείς μέσα τους.
Πρόκειται για ένα είδος γεωμετρίας που δεν μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό. Σύμφωνα με τους λογικούς ανθρώπους κάθε πραγματικό αντικείμενο πρέπει να έχει μια αρχή και ένα τέλος. Δεν γίνεται κάτι που μπορούμε να δούμε ή και να αγγίξουμε, να μην βασίζεται σε μια απλή σύσταση. Η έννοια του απείρου, μέσω των φράκταλς, ίσως να έρχεται πιο κοντά μας από όσο... αντέχουμε. Από την στιγμή όμως που έχει αποδειχτεί η απέραντη φύση τους, το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να αποδεχτούμε την ύπαρξη μας σε έναν κόσμο πιο... ατελείωτο από όσο φανταζόμαστε.

Στο παρακάτω βίντεο ο κ. Μπενουά Μάντελμπροτ μιλάει για την... εξωπραγματική γεωμετρία που ανακάλυψε:


Πέμπτη, 14 Απριλίου 2016

To Τάνγκραμ,οι παρανοήσεις και το πυθαγόρειο θεώρημα

To Τάνγκραμ,οι παρανοήσεις και το πυθαγόρειο θεώρημα



 Το Tάνγκραμ είναι ένα κινέζικο παιχνίδι που χρονολογείται πριν το 18ο αιώνα, παρ’ ότι είναι εξαιρετικά εθιστικό και όχι τόσο εύκολο όσο φαίνεται, στην κινέζικη κουλτούρα αποτελούσε ένα παιχνίδι για παιδιά και γυναίκες. Αργότερα, στα τέλη του 18ου αιώνα έγινε γνωστό στην Ευρώπη και την Αμερική.

   Αποτελείται από εφτά ξύλινα κομμάτια, που ονομάζονται τανς: δύο μεγάλα ίσα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 4 τετραγωνικές μονάδες ,δύο μικρά ίσα ορθογώνια τρίγωνα  με εμβαδό 1 τετραγωνική μονάδα,ένα ενδιαμέσου μεγέθους ορθογώνιο τρίγωνο, ένα τετράγωνο κι ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο όλα τους με εμβαδό 2 τετραγωνικές μονάδες. Όλα μαζί κατάλληλα τοποθετημένα φτιάχνουν ένα μεγάλο τετράγωνο εμβαδού 16 τετραγωνικές μονάδες. 
                         



   Σκοπός του παιχνιδιού είναι η τοποθέτηση των κομματιών για τη δημιουργία γεωμετρικών σχημάτων, ζώων, ανθρώπινων μορφών, σπιτιών, πλοίων, γραμμάτων κτλ. Ο παίκτης πρέπει να χρησιμοποιήσει και τα 7 κομμάτια του παζλ και η αντιγραφή των σκιαγραφημάτων που δίνονται πρέπει να είναι ακριβής δηλαδή δεν πρέπει το ένα κομμάτι να επικαλύπτει το 
άλλο.   

                                                  
                  
   Οι ρίζες της λέξης Τανγκραμ, χάνονται στα βάθη του χρόνου, με μια σειρά από ποικίλες πιθανές εξηγήσεις. Υπάρχει μια εκδοχή  η οποία αφορά τις οικογένειες «Tanka». Tanka ονομάζονταν οι οικογένειες των Κινέζων  που ζούσαν σε μεγάλες βάρκες  στα κινέζικα ποτάμια ενώ tan είναι η κινέζικη λέξη για τις εταίρες. Έτσι εικάζεται ότι οι δυτικοί ναύτες έμαθαν το παιχνίδι από εταίρες στα λιμάνια της Κίνας .Με αυτό τον τρόπο  το  τανγκραμ διαδόθηκε στην Ευρώπη και την Αμερική. Μια άλλη εκδοχή είναι ότι η λέξη τάνγκραμ προέρχεται από την αγγλική γλώσσα ως σύντμηση δυο λέξεων. Της (καντονέζικης ) λέξης για την Κίνα (Τανγκ) και της ελληνικής λέξης γράμμα. Στην  Κίνα ονομάζεται Κικιαοτού (εικόνα επτά δεξιοτήτων). Τα επτά κομμάτια κατασκευάζονταν συνήθως από ξύλο, χαρτόνι η χαρτί.Οι  πλούσιοι κινέζοι μανδαρίνοι τα προτιμούσαν σε ελεφαντοδόντο.
  Ένας αστικός μύθος υποστηρίζει ότι το τάνγκραμ ήταν το αγαπημένο παιχνίδι  του μεγάλου Ναπολέοντα κατά την διάρκεια της εξορίας του στην Αγία Ελένη, γεγονός που όμως δεν επιβεβαιώνεται από τους βιογράφους του.
  Το παιχνίδι υπήρξε πολύ δημοφιλές στην Αγγλία , γεγονός που οφείλεται εν μέρει και στον  Λιουις Κάρρολ τον συγγραφέα της  Άλικης την χώρα των θαυμάτων και καθηγητή μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, ο όποιος πρόσθεσε στις υπάρχουσες φιγούρες και ήρωες από τα βιβλία του. Βλέπε το παρακάτω σχήμα:

  Ο Κάρολ δεν ήταν ο μοναδικός συγγραφέας που ασχολήθηκε με το παιχνίδι ,ο Έντγκαρ Άλαν Πόε, ο διάσημος Αμερικανός ποιητής και πεζογράφος περνούσε ώρες παίζοντας, το σετ των σκαλιστών κομματιών που είχε στην κατοχή του  από ελεφαντόδοντο εκτίθεται στην Εθνική βιβλιοθήκη της Νέας Υόρκης .
   Ο  Σαμ Λόιντ γνωστός δημιουργός γρίφων και προβλημάτων ασχολήθηκε ενδελεχώς με το παιχνίδι. Το 1907,δημοσίευσε ένα βιβλίο με 700 μοναδικά σχέδια Τάνγκραμ και μια φανταστική ιστορία της δημιουργίας του Τάνγκραμ με τον ευφάνταστο τίτλο Το όγδοο βιβλίο του Ταν. Στο βιβλίο αυτό επινόησε μια ιστορία για την δημιουργία του παιχνιδιού ,400 χρόνια πριν από το θεό Ταν. Ο Λόιντ με αυτό το βιβλίο υπήρξε υπεύθυνος για πολλές παρανοήσεις σε σχέση με την ιστορία του παιχνιδιού. Σε Ευρώπη και Αμερική το Τάνγκραμ ήταν εξαιρετικά δημοφιλές,και το βιβλίο  εξασφάλισε στον Λόιντένα σημαντικό εισόδημα.


Μόνο τον 19ο αιώνα έχουν δημιουργηθεί 6500 διαφορετικά προβλήματα και ο αριθμός συνεχώς αυξάνεται. Ο αριθμός των προβλημάτων όμως είναι σίγουρα πεπερασμένος καθώς το 1942, οι Κινέζοι μαθηματικοί Fu Traing Wang  και  Chuan-Chin Hsiung απέδειξαν ότι υπάρχουν μόνο 13 διαφορετικά κυρτά σχήματα με τα επτά κομμάτια  του ταγκραμ.
  Δείτε το παρακάτω σχήμα.






  Ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hui που έζησε τον 3ου αιώνα χρησιμοποίησε το κινέζικο παιχνίδι Τάνγκραμ για να παρουσιάσει και να αποδείξει το πυθαγόρειο θεώρημα. Ο τρόπος που το έκανε ταιριάζει με την κινεζική ιδέα περί αποδείξεως δηλαδή την διάμεριση των μερών ενός επιπέδου σχήματος και ανασυνδυασμού τους με διαφορετικό τρόπο. Δείτε στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο τρίγωνο μαύρου χρώματος ,τα επτά κομμάτια του Τάνγκραμ που συνθέτουν το τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα μπορούν να τοποθετηθούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν δυο τετράγωνα με πλευρές τις κάθετες του τριγώνου. 

;


(Τhe fold and cut problem) Γεωμετρικά σχήματα με "τσάκιση",ένα γιαπωνέζικο οικόσημο και μια ιστορία για την σημαια.

(Τhe fold and cut problem) Γεωμετρικά σχήματα με "τσάκιση",
ένα γιαπωνέζικο οικόσημο και μια ιστορία για την σημαία.



"Τα μαθηματικά διαποτίζουν την κοινωνία μας .Οι περισσότεροι  από μας δεν τα προσέχουμε, διότι κατά το πλείστον  αυτά λειτουργούν πίσω από το προσκήνιο."
                                                                                                            Ian Stewart


  Έστω ότι διαθέτουμε ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί και έχουμε την δυνατότητα να το διπλώσουμε όπως θέλουμε, κατόπιν να το "κόψουμε" μια φορά με ένα ψαλίδι.Πόσα και ποια είναι τα δυνατά γεωμετρικά σχήματα που προκύπτουν.Προσοχή,ένα και μοναδικό ευθύ κόψιμο.Εξηγούμαι.Αν για παράδειγμα έχουμε σχεδιάσει στο χαρτί ένα αστέρι με 5 κορυφές -δείτε στο παρακάτω σχήμα-κατόπιν πραγματοποιούμε μια συγκεκριμένη ακολουθία από διαδοχικά "διπλώματα" του χαρτιού και στην συνέχεια κάνουμε μια ευθεία τομή με ένα ψαλίδι.Το τελικό γεωμετρικό σχήμα που θα απομείνει ,είναι το αστέρι που σχεδιάσαμε.



Δείτε το και σε βίντεο:

                      

 Πόσο συχνά συμβαίνει αυτό;Για ποια γεωμετρικά σχήματα έχουμε την δυνατότητα να βρούμε την κατάλληλη ακολουθία "διπλωμάτων" στο χαρτί που να μας επιτρέπει  με ένα και μοναδικό ευθύ κόψιμο με το ψαλίδι να τα αποκόψουμε. ( fold-and-cut-problem)

  Η πρώτη ιστορική αναφορά στο παραπάνω πρόβλημα εντοπίζεται το 1721, σε ένα γιαπωνέζικο βιβλίο γρίφων με τίτλο  Wakoku Chiyekurabe που εκδόθηκε από τον Kan Chu Sen. Το πρόβλημα που εθετε ο Kan Chu Sen αφορούσε ένα sangaibisi, κλασσικό γιαπωνέζικο οικόσημο, που αποτελείται από τρεις διπλωμένους ρόμβους.Δείτε τις παρακάτω σελίδες από το βιβλίο.

          
  
  Μεταγενέστερη αναφορά  του προβλήματος συναντούμε το 1783 στο περιοδικό  Harper's New Magazine Monthly.Ο αρθρογράφος του εν λόγω άρθρου αναφέρει μια σχετική με το πρόβλημα ιστορία που εμπλέκει τον Τζορτζ Ουάσιγκτον τον πρόεδρο των Η.Π.Α.Είναι γνωστό ότι,κατά την Αμερικανική Επανάσταση ή Πόλεμο της Ανεξαρτησίας (1775-1783),οι 13 βρετανικές αποικίες του Νέου Κόσμου εξεγέρθηκαν εναντίον της Μεγάλης Βρετανίας διεκδικώντας την ανεξαρτησία τους.Η εξέγερση οδήγησε στη δημιουργία των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής (ΗΠΑ).
 Όταν λοιπόν ο Ουάσιγκτον το 1777,με τους συμβούλους του αποφάσισε να σχεδιάσει την αμερικάνικη σημαία,η αρχική πρόταση που κατατέθηκε προέβλεπε  στην σημαία να απεικονίζονται 13 αστέρια με 6 κορυφές,όμως, όταν  κλήθηκε η Μπέτι Ρος που θα την έραβε, του πρότεινε αστέρια με 5 κορυφές με τον ισχυρισμό ότι ήταν πιο εύκολο να κοπούν, για να του αποδείξει τον ισχυρισμό της ,έκανε επίδειξη με ένα φύλλο χαρτιού και ένα ψαλίδι.Ο Αμερικανός πρόεδρος πείσθηκε και σήμερα η αμερικανική σημαία έχει αστέρια με 5 κορυφές.Γοητευτική ιστορία ακόμα και αν κινείται στα όρια του μύθου .
  
                      
Η πρώτη αμερικανική σημαία με τα 13 αστέρια που συμβολίζουν τις 13 αποικίες.
 Ακόμα και ο θρυλικός μάγος  Χ.Χουντινι ,προτού γίνει δεξιοτέχνης των αποδράσεων είχε γράψει ένα βιβλίο με μαγικά τρικ με τίτλο Paper Magic.Στο βιβλίο αυτό  o Χουντίνι κάνει αναφορά στο πρόβλημα (δείτε σελ 176 ),τα πνευματικά δικαιώματα του βιβλίου έχουν παρέλθει από πολλά χρόνια,οι λάτρεις των μαγικών τρικ μπορείτε να βρείτε διαμαντάκια.
 Το βιβλίο είναι αναρτημένο στους  παρακάτω συνδέσμους 
 -http://www.learnmagictricks.org/ebook/HoudiniPaper-LMT.pdf
 -http://www.ibmring81.com/Books/Houdini_s_Paper_Magic.pdf

            

 
Ο  Μ.Gardner ασχολήθηκε με αυτού του είδους τα προβλήματα και έθεσε το ερώτημα:

         
    " Ποια γεωμετρικά σχήματα είναι δυνατό να προκύψουν με την παραπάνω διαδικασία;"

  Απάντησή στο ερώτημα του δόθηκε το 1997 ,από τους Martin Demaine, Eric Demaine και Anna Lubiw.Οι δυο πρώτοι είναι πατέρας και γιος ,καθηγητές της επιστήμης των υπολογιστών στο ΜΙΤ με σπουδαίο ερευνητικό έργο ενώ η Anna Lubiw είναι καθηγήτρια στον ίδιο τομέα στο πανεπιστήμιο του Waterloo στον Καναδά.
Κάθε πολυγωνικό σχήμα μπορεί να προκύψει με κατάλληλη ακολουθία "διπλωμάτων" και ένα ευθύ κόψιμο με το ψαλίδι.Στον ιστότοπο του Eric Demaine μπορείτε να δείτε δυο διαφορετικές αποδείξεις για τον παραπάνω ισχυρισμό. 

 Στο παρακάτω βίντεο, ο Eric Demaine επιδεικνύει βήμα-βήμα την παραπάνω διαδικασία  για ένα κύκνο.


                 

Περισσότερες πληροφορίες 
http://erikdemaine.org/foldcut/
http://pdf.aminer.org/000/467/113/folding_and_cutting_paper.pdf