-t

Σάββατο, 26 Σεπτεμβρίου 2015

Η Αρμονία και η Αρετή των Αριθμών: η ετυμολογία των λέξεων

Η Αρμονία και η Αρετή των Αριθμών: η ετυμολογία των λέξεων

Η λέξη ἀριθμός προκύπτει από ρίζα ἀρι-, η οποία είχε αρχική σημασία «μετρώ, αριθμώ, βάζω σε κατάλληλη σειρά, τακτοποιώ». Από την ίδια ρίζα προκύπτει η λέξη νήριτος που σημαίνει «αναρίθμητος» από το στερητικό ν-/να-/νη- (πβ. νηνεμία = νη+άνεμος = χωρίς άνεμο) και το ἄριτος (νάριτος > νήριτος). Από την ίδια ρίζα με το πρόσφυμα -θμ- προκύπτει η λέξη ἀρι-θμ-ός. Με επέκταση της σημασίας η ρίζα έφτασε να σημαίνει «αριθμώ κάποιους για να τους ξεχωρίσω από τους άλλους» > «επιλέγω, διαλέγω». Έτσι προκύπτει η λέξη έπάριτοι(ἐπί + ἄριτος): ονομασία των στρατιωτών του κοινού των Αρκάδων (= επίλεκτοι, διαλεχτοί). Ως όνομα προσώπων πβ. Ἐπήριτος (ω 306), Πεδάριτος (Αρκαδία, Λακωνία, όπου πεδά = μετά), Μετήριτος (Ιωνία), το όρος Νήριτον στον Όμηρο. Επίσης εἰκοσιν-ήριτος (=εικοσαπλάσιος).

Η ρίζα ἀρι- και η σημασία της «μετρώ, αριθμώ» αποτελεί με τη σειρά της παραλλαγή και επέκταση της ρίζας ἀρ-, η οποία σημαίνει «ταιριάζω, προσαρμόζω κάτι σε κάτι άλλο, τακτοποιώ, βάζω στη σειρά». Η ρίζα αυτή είναι εξαιρετικά παραγωγική στην αρχαία Ελληνική και έδωσε αναρίθμητα θέματα και παράγωγες λέξεις. Ας δούμε μερικές χαρακτηριστικές:

-ἄρμα (ουδέτερο): «αυτό που προσαρμόζεται σε κάτι άλλο» > «τροχός ως ρόδα που προσαρμόζεται στο άξονα της άμαξας» (αυτή είναι η μυκηναϊκή σημασία, δηλαδή τροχός, ρόδα) > με συνεκδοχή «άρμα».

-ἡ ἀρμή / ἡ ἄρμα (θηλυκό) = «το συνταίριασμα»> «η σεξουαλική ένωση» (Δελφοί, Ησύχιος).

-ἄρθρο: «αυτό που προσαρμόζεται σε κάτι άλλο» > «μέλος του σώματος» (πόδια, χέρια ως προσαρμοσμένα στο κορμό του σώματος) και «γραμματικό άρθρο» ως η λέξη που προσαρμόζεται, ταιριάζει, συναρθρώνεται με μια άλλη λέξη, κυρίως ουσιαστικό.

-άρμός = μέρος που συναρμόζονται δύο πράγματα, σύνδεση, συναρμογή

-ἀρμόζω ή ἀρμόττω =προσαρμόζω, ταιριάζω. Από εδώ η λέξη ἀρμονία (συναρμολόγηση, σύνδεση, συμφωνία), ἀρμόδιος, ἀρμοστής κ.ά.

-ἀρθμός = σύνδεση, σύνδεσμος, ένωση, φιλία

-ἀρείων / ἄριστος (=ο πολύ ταιριαστός, κατάλληλος)

-ἀρέσκω = «συνταιριάζω κατάλληλα τα πράγματα» > «συμβιβάζω» > «προκαλώ ευχαρίστηση με τον συμβιβασμό» > «ευαρεστώ κάποιον, ικανοποιώ, γίνομαι ευχάριστος».

-ἀρετή = η ικανότητα να ταιριάζεις, η καταλληλότητα, η κατάλληλη ικανότητα

-ἄρτι = ταιριαστά, κατάλληλα > την ώρα που έπρεπε > τώρα δα, μόλις τώρα. Η αρχική σημασία διατηρείται όμως στα σύνθετα π.χ. ἀρτιμελής, ἀρτίχειρ, ἀρτίφρων κ.ά. Πβ. ἄρτιος = ο ταιριαστός > τέλειος

-ὄαρ = η ταιριαστή > η σύντροφος, σύζυγος




Παρασκευή, 25 Σεπτεμβρίου 2015

ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΑ GIFs

ΟΜΟΡΦΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ 

Τα μαθηματικά είναι παντού ακόμη και σε ένα κομμάτι πίτσα ! 


Και λίγο game of thrones !



Όμορφες εικόνες μαθηματικά φτιαγμένες ! ! !

































Πέμπτη, 24 Σεπτεμβρίου 2015

Σε λειτουργία το Mathesis των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης

Σε λειτουργία το Mathesis των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης

Mathesis
H εξάπλωση των ανοικτών διαδικτυακών μαθημάτων παγκοσμίως αλλάζει δραστικά τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε την εκπαίδευση. Η φήμη και η αξιοπιστία αρκετών MOOCS (Massive Open Online Courses) ενισχύθηκε από τη συμμετοχή των σημαντικότερων πανεπιστημίων του κόσμου, από τo Princeton, το Stanford και τοHarvard μέχρι την École Normale Supérieure και τη δραστήρια, και σε αυτό το είδος μαθημάτων, École Polytechnique Fédérale de Lausanne. Οι γλωσσομαθείς Έλληνες έχουν πάντα την ευκαιρία να παρακολουθούν δωρεάν ή με ένα μικρό αντίτιμο τα μαθήματα αυτών των πανεπιστημίων, τα οποία παρέχουν πλέον και βεβαιώσεις παρακολούθησης των μαθημάτων.
Η εξαιρετική, νέα είδηση συνδέεται με την πρόσφατη πρωτοβουλία τωνΠανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης (ΠΕΚ). Οι εκδόσεις υλοποίησαν και ανακοινώνουν με χαρά την έναρξη λειτουργίας ενός νέου τμήματός διαδικτυακών μαθημάτων που παραδίδονται στην ελληνική γλώσσα. Πρόκειται για το Κέντρο Ανοικτών Διαδικτυακών Μαθημάτων – Mathesis.
Το Mathesis είναι το πρώτο τέτοιο Κέντρο στην Ελλάδα και φιλοδοξεί να προσφέρει μαθήματα στο επίπεδο των καθιερωμένων διεθνών προτύπων. Δηλαδή με την ίδια προσήλωση στην ποιότητα που χαρακτηρίζει και τις έντυπες εκδόσεις των ΠΕΚ εδώ και πολλά χρόνια.
Τα μαθήματα προσφέρονται μέσω της πλήρως εξελληνισμένης εκδοχής της πλατφόρμας OpenEdx – αυτής που χρησιμοποιούν για τα διαδικτυακά τους μαθήματα το Harvard και το MIT– και απευθύνονται όχι μόνο σε φοιτητές και επαγγελματίες επιστήμονες, αλλά και σε κάθε μορφωμένο πολίτη με επιστημονικά ενδιαφέροντα και πνευματικές ανησυχίες.
Η συμμετοχή στα μαθήματα είναι ανοικτή και δωρεάν για όλους, ενώ μετά το πέρας της επιτυχούς παρακολούθησής τους δίδεται στους διαδικτυακούς φοιτητές σχετική βεβαίωση παρακολούθησης.
Μπορείτε να επισκεφθείτε τον ιστότοπό των εκδόσεων στη διεύθυνση mathesis.cup.grκαι αν το περιεχόμενό του ελκύσει το ενδιαφέρον σας εγγραφείτε για να παρακολουθήσετε κάποιο από τα μαθήματά του.
Mathesis 2


Τετάρτη, 23 Σεπτεμβρίου 2015

Τα μουσεία μαθηματικών του κόσμου

Τα μουσεία μαθηματικών του κόσμου

Cédric-Villani-241x300
Ο εμπνευστής του νέου μουσείου Cédric Villani
Ένα καινούργιο μουσείο, αφιερωμένο στη μαθηματική επιστήμη, προετοιμάζεται αυτήν την εποχή πυρετωδώς για να εγκαινιαστεί το 2018 στο Παρίσι. Επικεφαλής της φιλόδοξης προσπάθειας είναι ο κορυφαίος Γάλλος μαθηματικός, βραβευμένος με το μετάλλιο Fields το 2010, Cédric Villani. Το Μουσείο, κόστους 12.000.000 ευρώ, θα φιλοξενηθεί σε έναν χώρο 500 τετραγωνικών μέτρων, δίπλα στις εγκαταστάσεις τουΙνστιτούτου Poincaré της γαλλικής πρωτεύουσας.
Σε πρόσφατη συνέντευξή του ο εμπνευστής του σχεδίου Cédric Villani κάνει λόγο για τη δημιουργία ενός Οίκου των Μαθηματικών, ο οποίος θα είναι ανοιχτός και φιλικός προς όλους τους πολίτες. Σύμφωνα με τον ίδιο, θα δημιουργηθεί ένα υπερσύγχρονο μουσείο, με ευχάριστη ατμόσφαιρα, ταιριαστό με την εποχή μας. Θα αποτελεί, επίσης, τόπο συνάντησης εκπροσώπων από τους τομείς της υψηλής τεχνολογίας, των σύγχρονων μαθηματικών, της θεωρητικής έρευνας, της εκπαίδευσης και της διδασκαλίας. «Κάθε επισκέπτης του μουσείου, θα μπορεί να προβληματιστεί, να συζητήσει, να δει, να αισθανθεί και να πειραματιστεί», συμπληρώνει ο Villani.
Jules Henri Poincaré
Jules Henri Poincaré
Το μουσείο θα ονομαστεί «Poincaré-Perrin», προς τιμήν των δύο κορυφαίων Γάλλων επιστημόνων που κατάφεραν να φέρουν την επιστήμη κοντά στην κοινωνία: του μαθηματικού και θεωρητικού φυσικού Jules Henri Poincaré (1854-1912) και
Jean Baptiste Perrin
Jean Baptiste Perrin
του φυσικού και νομπελίστα Jean Baptiste Perrin (1870- 1942), ο οποίος θεμελίωσε τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα στη Γαλλία το Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας (CNRS) και το περίφημο Palais de la Découverte.
Το νέο μουσείο, τόπος συνάντησης της επιστήμης, της έρευνας και της εκπαίδευσης, θα φιλοξενεί, επίσης, θεματικές εκθέσεις, διαλέξεις, δράσεις και παιχνίδια. Οι εκπαιδευτικοί θα έχουν τη δυνατότητα να το επισκέπτονται με τους μαθητές τους.
Με αυτήν την ευκαιρία, ας επισκεφθούμε μαζί, μέσα από τις ιστοσελίδες τους, ορισμένα από τα σημαντικότερα μουσεία του κόσμου που έχουν συλλογές με μαθηματικό ενδιαφέρον ή που είναι αφιερωμένα εξ ολοκλήρου στη μαθηματική επιστήμη.
Αμερική
Μεγάλη Βρετανία
©LaurenceFragnol
©LaurenceFragnol
Γαλλία
Γερμανία
Αυστρία
Ιταλία
Fondazione Galileo Galilei

MoMath ,ένα ξεχωριστό μουσείο μαθηματικών !!!

 Ένα βίντεο από τα εγκαίνια  του Μomath(2012),ενός μουσείου  αφιερωμένου στα μαθηματικά στο Μανχάταν  της Νέας Υόρκης. Το μότο του Μουσείου "Tα μαθηματικά είναι cool!!".Φανταστείτε  ένα λούνα παρκ με μαθηματικά παιχνίδια: Ποδήλατα με  τετράγωνους τροχούς , μια πίστα χορού με γράφους που αναβοσβήνουν , πλακάκια στους τοίχους με την καμπύλη Peano, ένα  τρίγωνο Reuleaux που κινείται σε ράγες , μια κατασκευή της σπαζοκεφαλιάς του Loyd με τον Κινέζο που εξαφανίζεται,παιχνίδια με πρίσματα, μια βιντεοκάμερα και μια διαδραστική οθόνη που επιτρέπει στον επισκέπτη να "αναπαράγει" τον εαυτό του και να γίνει Φράκταλ.Δείτε το βίντεο. 

Ο ιστοτοπος του μουσείου: http://momath.org/
Ένα  σχετικό άρθρο από την διαδικτυακή έκδοση  του Scientific American :http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=museum-puts-math-on-display


Μαθηματικά παιχνίδια

Μια επίσκεψη στο Μουσείο Ηρακλειδών στο Θησείο «ξεκλειδώνει» με απολαυστικό τρόπο τα μαθηματικά όχι μόνο για τους μικρούς επισκέπτες στους οποίους απευθύνεται, αλλά και για τους κατά πολύ μεγαλύτερους συνοδούς τους!
Μαθηματικά παιχνίδια
Αμμωνίτες και ηλίανθοι χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση της χρυσής τομής (ο λόγος του συνόλου προς το μεγαλύτερο τμήμα ισούται με τον λόγο του μεγαλυτέρου προς το μικρότερο)
Πριν από περίπου 2.600 χρόνια ο Θαλής ο Μιλήσιος (624-546 π.Χ.) βρέθηκε στην Αίγυπτο να θαυμάζει τις πυραμίδες, οι οποίες μετρούσαν ήδη 1.500 χρόνια ύπαρξης, και να διερωτάται για το ύψος τους. Πώς να μετρηθεί όμως το ύψος των τεράστιων οικοδομημάτων που ακόμη και σήμερα προκαλούν δέος; Ο Θαλής βρήκε τη λύση: αντί να μετρήσει το ύψος της πυραμίδας, θα μετρούσε τη σκιά της. Ποια σκιά όμως; Ολοι ξέρουμε ότι το μήκος της σκιάς οποιουδήποτε αντικειμένου μεταβάλλεται στη διάρκεια της ημέρας, ανάλογα με τη θέση του Ηλίου. Χρησιμοποιώντας ένα ραβδί, ο Θαλής αποφάσισε να μετρήσει τη σκιά που έριχνε η πυραμίδα την ώρα που η θέση του Ηλίου ήταν τέτοια ώστε το μήκος του ραβδιού (το οποίο είχε τοποθετηθεί κάθετα στο έδαφος) να είναι ίσο με τη σκιά του. Συνάγοντας ότι κατ' αντίστοιχο τρόπο και ο ίσκιος που έριχνε η πυραμίδα εκείνη την ώρα θα ήταν ίσος με το ύψος της, ο Θαλής δεν έκανε μόνο έναν υπολογισμό. Στην πραγματικότητα έκανε τον πρώτο ιστορικά καταγεγραμμένο συλλογισμό θεωρητικής γεωμετρίας.

Τον ίδιο συλλογισμό-υπολογισμό μπορούν να κάνουν σήμερα και κάθε Σαββατοκύριακο στο Μουσείο Ηρακλειδών (Ηρακλειδών 16, στο Θησείο) παιδιά νηπιακής και σχολικής ηλικίας, όπου η έκθεση «Παίζω και καταλαβαίνω», η οποία άνοιγε μόνο για σχολεία τις εργάσιμες ημέρες, γίνεται πλέον μόνιμη και ανοίγει τα Σαββατοκύριακα για ιδιωτικές επισκέψεις. Πρωτοτυπώντας μάλιστα, καθώς εισιτήριο πληρώνουν μόνο τα παιδιά (6 ευρώ) ενώ οι συνοδοί τους προσέρχονται δωρεάν!

Εκθεση, διάδραση, παιχνίδι
Σε αυτόν τον ειδικά σχεδιασμένο για να ευνοεί τη διάδραση χώρο και με τη βοήθεια ειδικών παιδαγωγών τα παιδιά εισάγονται στη μαθηματική σκέψη παίζοντας. Βλέπετε, η εκπαίδευση μέσω παιχνιδιού είναι η φιλοσοφία των εμπνευστών της έκθεσης, του  Αρη Μαυρομμάτη και του Απόστολου Παπανικολάου. Στην πραγματικότητα η έκθεση αποτελεί το έργο ζωής των δύο φωτισμένων μαθηματικών, οι οποίοι είναι και ερευνητές της Διδακτικής των Μαθηματικών.

Στην περίπτωση λοιπόν του θεωρήματος του Θαλή, το παιχνίδι-έκθεμα (τοποθετημένο πάνω σε τραπέζι) περιλαμβάνει μια λιλιπούτεια πυραμίδα, ένα ραβδάκι (με βάση, για να στέκεται) και μια πηγή φωτός που παίζει τον ρόλο του Ηλίου. Και ενώ τα μικρότερα παιδιά θα πειραματιστούν με τα παιχνίδια-εκθέματα, τα μεγαλύτερα και οι έφηβοι μπορούν να πάνε τη σκέψη τους ένα βήμα παραπέρα μελετώντας το ταμπλό στον τοίχο πίσω από το έκθεμα όπου υπάρχουν αφενός επεξηγηματικό σχεδιάγραμμα και αφετέρου συμπυκνωμένη πληροφορία. Εκεί λοιπόν διαβάζει κανείς ότι «Με τον Θαλή και τους υπόλοιπους ίωνες φιλοσόφους εμφανίζεται ιστορικά η πρώτη προσπάθεια αναζήτησης λογικής εξήγησης για τα φυσικά φαινόμενα και τα ουράνια σώματα, χρησιμοποιώντας μόνο τη λογική και όχι τους μύθους και τους θρύλους. Η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας με τη βοήθεια της σκιάς της αποδίδεται ιστορικά στον Θαλή και αποτελεί μια επιτυχία της θεωρητικής γεωμετρικής σκέψης, η οποία επίσης εμφανίζεται για πρώτη φορά στην Ιστορία. Η ιδέα-θεώρημα του Θαλή είναι η σύνδεση των εννοιών της ομοιότητας και της παραλληλίας με τις έννοιες του λόγου και της αναλογίας».

Η συμβολή της Τέχνης
Καλά όλα αυτά, αλλά πόσο εύκολο είναι για ένα παιδί να συγκρατήσει έννοιες όπως η ομοιότητα ή η παραλληλία; Πόσο εύκολο είναι αφού έχει αντιληφθεί τη στιγμή του παιχνιδιού κάποια έννοια να μπορέσει στη συνέχεια να δει τη σχέση της με τη δική του ζωή; Την απάντηση εδώ δίνει η τέχνη. Στην πραγματικότητα αυτό που διαφοροποιεί το Μουσείο Ηρακλειδών από αντίστοιχα μουσεία επιστημών του εξωτερικού είναι το γεγονός ότι η τέχνη γίνεται εργαλείο για την κατανόηση των μαθηματικών. Ετσι, σε στενή γειτνίαση με το παραπάνω έκθεμα, δύο πίνακες του Σολ λε Βιτ «ξεκαθαρίζουν» τις έννοιες της παραλληλίας και της ομοιότητας. Δίπλα τους ένα ταμπλό με έργα του Μοντριάν και του Μιρό δεν αφήνει τίποτε στην τύχη σχετικά με την έννοια της καθετότητας το οποίο συνοδεύει το έκθεμα των Πυθαγορείων. Και παρακάτω, ένας πίνακας του Εσερ αξιοποιείται για να εισαχθεί η έννοια του απείρου...

Τα περισσότερα από τα έργα, κυρίως των Εσερ και Βασαρέλι, είναι πρωτότυπα και προέρχονται από την προσωπική συλλογή του Παύλου και της Αννας-Μπελίντας Φυρού, των ιδρυτών του Μουσείου, το οποίο συμπλήρωσε ήδη μία δεκαετία ζωής.

Πρωτότυπες, διεπιστημονικές κατασκευές
Οσο για τα διαδραστικά εκθέματα, ο Αρης Μαυρομμάτης και ο Απόστολος Παπανικολάου σχεδιάζουν και καθοδηγούν την υλοποίηση των εκθεμάτων από ειδικούς κατασκευαστές. «Θα μπορούσαμε να παραγγείλουμε τα εκθέματα στο εξωτερικό, αλλά αυτό θα έκανε το κόστος τους απαγορευτικό» μας είπε κατά τη διάρκεια της συνάντησής μας στο Μουσείο ο κ. Παπανικολάου, ο οποίος δεν παρέλειψε να σημειώσει και τη συμβολή των συνεργατών του: για τη δημιουργία ορισμένων εκθεμάτων (τα οποία αφορούν αναμορφώσεις-παραμορφώσεις και ολογράμματα) συνεργάστηκε μαζί τους ο δρ Νίκος Κουρνιάτης, αρχιτέκτων μηχανικός ΕΜΠ, για τη δημιουργία του μονόχορδου (στο έκθεμα των Πυθαγορείων όπου αναλύεται η αρμονία των αριθμών) ο δρ Χρήστος Τερζής, μουσικολόγος - ιστορικός των Επιστημών, ενώ η κυρία Σοφία Σταθοπούλου, δασκάλα και μαθηματικός με ειδίκευση στην οργάνωση και στον συντονισμό της διδασκαλίας των μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, συνέβαλε στον σχεδιασμό της έκθεσης.

Η έκθεση εκτείνεται σε δύο ορόφους: στον πρώτο τα εκθέματα-παιχνίδια εισάγουν τις πρώτες μαθηματικές έννοιες που μαθαίνει κανείς εμπειρικά, όπως είναι η συμμετρία, η αναπαράσταση σε δύο και τρεις διαστάσεις, οι αριθμοί. Ο δεύτερος όροφος μοιάζει με ταξίδι στην ιστορία των μαθηματικών: «Ξεκινούμε από τους προσωκρατικούς και το πέρασμα από τον μύθο και τον θρύλο στη λογική και συνεχίζουμε με τους Πυθαγόρειους, τους Ελεάτες, τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη και περνώντας από την Αναγέννηση και τις κατακτήσεις της επιστήμης του 20ού αιώνα, καταλήγουμε στο σήμερα με την επιστήμη του χάους, των δυναμικών συστημάτων και των φράκταλ» σημείωσε ο κ. Παπανικολάου.


Πόσο γοητευτικό είναι άραγε το ταξίδι στη μαθηματική σκέψη που παρέχεται στο Μουσείο Ηρακλειδών; Τα παιδιά τα οποία ως σήμερα έχουν επισκεφθεί την έκθεση με το σχολείο τους είναι οι μόνοι αρμόδιοι να απαντήσουν. Οταν το επισκεφθείτε, μην παραλείψετε να διαβάσετε τα σημειώματά τους στο τετράδιο επισκεπτών. Θα διαπιστώσετε ότι μετά τα διθυραμβικά σχόλια η συχνότερη ευχή τους είναι: «Μακάρι να ήταν έτσι το σχολείο μας». Ας ελπίσουμε ότι θα εισακουστούν...


Τρίτη, 22 Σεπτεμβρίου 2015

Πόσο κάνει ένα και ένα ;

Πόσο κάνει ένα και ένα ;






Μια ωδή στο Πυθαγόρειο Θεώρημα: 1000+1 λόγοι να το... αγαπήσεις

Μια ωδή στο Πυθαγόρειο Θεώρημα: 1000+1 λόγοι να το... αγαπήσεις

 

Ισως το πιο γνωστό θεώρημα στον απέραντο κόσμο των μαθηματικών. Μια απλή σχέση τετραγωνικών αριθμών, που κρύβει μέσα της συνοψισμένη όλη την αίγλη της μαθηματικής επιστήμης.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι δικαιολογημένα το πιο δημοφιλές και ταυτόχρονα μεγαλειώδες θεώρημα της μαθηματικής επιστήμης. Οχι επειδή μέσω της λιτής μορφής του διαφαίνονται... σκοτεινοί και απρόσιτοι κανόνες των αριθμών και των σχημάτων, αλλά διότι έχει την μοναδική ικανότητα να «μαγεύει» ακόμα και τους πλήρως μαθηματικά απαίδευτους.
Δεν είναι τυχαίο άλλωστε το γεγονός ότι διδάσκεται μόλις στην Β' Γυμνασίου. Ο παιδαγωγικός ρόλος αυτού του 
εκπληκτικού επινοήματος του Πυθαγόρα δεν έχει αρχή και τέλος. Τα μόνα προαπαιτούμενα που χρειάζεται η κατανόηση του είναι η έννοια της ορθής γωνίας, του τετραγωνικού αριθμού και... της εξίσωσης. Αυτά τα τρία βασικά «συστατικά» συνθέτουν έναν απόλυτο μαθηματικό οργασμό, μια έκρηξη πληροφοριών δημιουργημένη δια μαγείας, σχεδόν εκ του μηδενός.«Το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών» λέει η σύγχρονη έκφραση του Πυθαγορείου, ελαφρώς παραλλαγμένη από αυτήν που συνέλαβε πριν 2.500 χρόνια ο τετραπέρατος νους του αρχαίου μαθηματικού.
Χωρίς να έχει οριστεί η έννοια της «δύναμης» με την σημερινή της μορφή, ο Πυθαγόρας δεν θα μπορούσε να γράψει την σχέση α222. Χρησιμοποίησε λοιπόν το παρακάτω σχήμα, εξηγώντας πως το εμβαδόν των δύο μικρότερων τετραγώνων ισούται ακριβώς με το εμβαδόν του μεγαλύτερου.

Μια τεράστια μαθηματική ανακάλυψη για τα δεδομένα της εποχής, είχε αποτυπωθεί σε αυτό το απλό σχήμα. Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα ίσα τρίγωνα, γεγονός που σημαίνει πως η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν.


Το μαθηματικό... ντόμινο που ακολούθησε - Πώς το Πυθαγόρειο Θεώρημα διέγειρε την φαντασία όλων των επιστημόνων



Από την στιγμή που αποδείχθηκε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ξεκίνησε μια καινούργια εποχή για τα μαθηματικά. Τα μυστικά που αποκάλυπτε αυτή η «σατανική» σχέση δεν είχαν τελειωμό, ενώ έπρεπε να περάσουν χιλιάδες χρόνια ώστε να ολοκληρωθεί το... μαθηματικό ντόμινο που επέφερε.
Η αρχή έγινε με την μελέτη του πιο απλού ορθογωνίου τριγώνου, με δύο πλευρές ίσες με 1. Η τρίτη πλευρά του τριγώνου, που ισούται με την τετραγωνική ρίζα του 2, είχε άγνωστες, μυστήριες ιδιότητες για τους μαθηματικούς της εποχής. Ενας άρρητος, μη μετρήσιμος αριθμός ερχόταν για πρώτη φορά τόσο «κοντά» με τους επιστήμονες, ενώ πλέον μπορούσε να γραφτεί και να υπολογιστεί κανονικά, με κανόνα και διαβήτη.
Η σκέψη πως υπάρχουν και άλλοι αριθμοί, πέραν των φυσικών και των ρητών, είχε ενσκήψει στα μυαλά των μαθηματικών, κάνοντας τους να διερωτώνται, να εξετάζουν και να φιλοσοφούν την ύπαρξη αυτών των... περίεργων αρρήτων αριθμών.
Το επόμενο κομμάτι του ντόμινο έπεσε όταν οι μαθηματικοί άρχισαν να περιεργάζονται τις «πυθαγόρειες τριάδες», που αντιστοιχούσαν στα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Τι κοινό έχει η τριάδα (3,4,5) με την (8,15,17); Και οι δύο ικανοποιούν την γνωστή εξίσωση α222, δημιουργώντας ορθογώνια τρίγωνα. Παράλληλα όμως, αποτελούνται από αριθμούς που είναι πρώτοι μεταξύ τους. Η Θεωρία Αριθμών, οι μεταγενέστερες «Διοφαντικές Εξισώσεις» και γενικά η μελέτη των πρώτων αριθμών είχαν βρει το τέλειο σκαλοπάτι ώστε να πατήσουν και να ανεγερθούν. 

Οι... 1000+1 λόγοι να αγαπήσει κανείς το θεώρημα που άλλαξε την μαθηματική ιστορία


Θα ήταν αδύνατο να προσπαθήσει κανείς να περιγράψει αναλυτικά τις επιδράσεις που είχε η μεγαλοφυής ιδέα του Πυθαγόρα στην μετέπειτα ιστορία των μαθηματικών. Οι περισσότερες από 370 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος, δείχνουν με τον πιο εμφανή τρόπο το τεράστιο επιστημονικό φάσμα που εμπεριέχεται σε ένα απλό ορθογώνιο τρίγωνο. Γεωμετρία, τριγωνομετρία, άλγεβρα, διαφορικές εξισώσεις αλλά ακόμα και οι... φανταστικοί μιγαδικοί αριθμοί, θεμελιώθηκαν χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Οι 370 και πλέον αποδείξεις όμως, μαρτυρούν και ένα ακόμα στοιχείο, ίσως σημαντικότερο από σύσσωμο το... επιστημονικό ντόμινο. Αποδεικνύουν την τεράστια επίδραση που έχει το Πυθαγόρειο Θεώρημα πάνω στους μαθητές που το γνωρίζουν. Πάνω στους επιστήμονες που το μελετούν εκτενέστερα. Πάνω στους ερευνητές που προσπαθούν να το «ξεζουμίσουν» λίγο ακόμα.
Το πρώτο και, ίσως, το μοναδικό μεγαλειώδες θεώρημα που μαθαίνουμε στο σχολείο, έχει την ικανότητα να διεγείρει την μαθηματική φαντασία του καθενός. Μια κατανοητή και «προσιτή» σχέση, δείχνει πως ο κόσμος των μαθηματικών δεν είναι αναγκαία... τρομακτικός. Σίγουρα όμως είναι ονειρικός.





Δευτέρα, 21 Σεπτεμβρίου 2015

ΤΑΙΝΙΑ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΙΕΣΗ ΠΟΥ ΔΕΧΟΝΤΑΙ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΤΑΙΝΙΑ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΙΕΣΗ ΠΟΥ ΔΕΧΟΝΤΑΙ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Το «Children» ρίχνει μια κριτική ματιά στην εμμονή του εκπαιδευτικού συστήματος με την τελειότητα


Το «Children» είναι μια μικρή ταινία κινουμένων σχεδίων που εξερευνά τη σκοτεινή πλευρά της εκπαίδευσης. Δημιουργήθηκε από τον Ιάπωνα εικονογράφο Okada ​​Takuya, και απεικονίζει έναν γκρίζο κόσμο, μια γκρίζα γειτονιά, ένα γκρίζο σχολείο με γκρι τάξεις. Σε αυτό κάθονται σε σειρές γκρι παιδιά, που ξεχωρίζουν μεταξύ τους από τον αριθμό στη σφραγίδα που βρίσκεται στο κεφάλι τους.
Είναι μια ταινία που προκαλεί τη σκέψη με πολλούς τρόπους, εξετάζοντας τον τρόπο με τον οποίο τα παιδιά ΔΕΝ αντιμετωπίζονται ως άτομα εντός του εκπαιδευτικού συστήματος, και πώς μπαίνουν σε καλούπια, σαν τα πρόβατα. Μας αναγκάζει, επίσης, να εξετάσουμε την τεράστια πίεση που δέχονται τα παιδιά από τη στιγμή που ξεκινούν το σχολείο, και πόσο βαρετές μπορεί να είναι οι σπουδές τους.
Πού χωράει το παιχνίδι με τόση εργασία και μελέτη για τις εξετάσεις;
Πώς η πίεση του να πάρουν ΑΡΙΣΤΑ, τα επηρεάζει ψυχικά;
Τα γκρίζα παιδιά κάθονται ήσυχα μέρα με τη μέρα, εργάζονται σκληρά για να πάρουν τους καλύτερους βαθμούς, για να κερδίσουν την επιβράβευση του δασκάλου τους.
Ένα αγόρι αισθάνεται την πίεση να ξεχειλίζει μέσα του, καθώς περιμένει στην ουρά για να πάρει τα αποτελέσματα από τις εξετάσεις. Εκρήγνυται ως αντίδραση ενάντια στην συνεχή πίεση, εμπνέοντας και τους υπόλοιπυς μαθητές να κάνουν το ίδιο …

Σάββατο, 19 Σεπτεμβρίου 2015

Πώς διαβάζω Μαθηματικά ; (ΜΕΡΟΣ B΄)

Πώς διαβάζω Μαθηματικά ;   (ΜΕΡΟΣ B΄)
Ο τρόπος προσέγγισής τους, καθορίζει το πόσο "εύκολα" ή "δύσκολα" θα είναι...

Στο πρώτο μέρος αναφέρθηκαν τα πρώτα λάθη που γίνονται και τα οποία συνοψίζονται σε δύο σημεία:
Α.  όταν ο μαθητής δεν προσέχει την ώρα που ο καθηγητής του εξηγεί κάποιο θέμα (θεωρία ή άσκηση).
Β.  στον λάθος τρόπο ανάγνωσης των μαθηματικών κειμένων και συμβολισμών.
Αυτά γίνονται πριν επιστρέψει ο μαθητής στο σπίτι του και μείνει μόνος με το «θηρίο». Πώς, επομένως, αντιμετωπίζεται το «θηρίο», χωρίς την παρουσία του καθηγητή;
Αυτό θα είναι το θέμα του δεύτερου μέρους του θέματος «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;».

Γιούπιιιι ! Τέλος το σχολείο για σήμερα !!








Η πιο χαρούμενη στιγμή στην ημέρα ενός μαθητή; Θα 'λεγα πως σίγουρα είναι (σε παγκόσμιο επίπεδο). Στις μικρότερες ηλικίες (Δημοτικό), σημαίνει την αρχή άλλων δραστηριοτήτων, σαφώς πιο ευχάριστων. Όμως, όπως σημειώθηκε στο πρώτο μέρος αυτού του άρθρου, εστιάζουμε την προσοχή μας στους μαθητές Γυμνασίου (οπότε και δημιουργείται το πρώτο ρήγμα στην σχέση τους με τα Μαθηματικά) και, κατ' επέκταση, στους μαθητές Λυκείου. Ούτε εδώ υπάρχει σκοπός απόδοσης ευθυνών, αλλά επισήμανσης των λαθών που γίνονται και πώς αυτά μπορούν να προληφθούν και διορθωθούν.
Μετά το σχολείο, τι περιμένει τον μαθητή και πώς θα το αντιμετωπίσει;
Στο Γυμνάσιο -και πάντα αναφερόμενοι στα Μαθηματικά- ο μαθητής αρχίζει να χτίζει μια νέα πραγματικότητα: ασκήσεις για το σπίτι, ενδεχομένως και φροντιστήρια (άρα και από εκεί ασκήσεις). Σίγουρα όχι ό,τι καλύτερο για ένα παιδί στην εφηβεία, αφού άλλα θέλει να κάνει (π.χ. αθλητισμό, μουσική, παρέα με τους φίλους του) και όχι να ψάχνει τον άγνωστο x... Καλώς ή κακώς όμως, τα πράγματα έτσι αρχίζουν και διαμορφώνονται, με μέρες γεμάτες από το πρωί ως το βράδυ με ποικίλες δραστηριότητες και υποχρεώσεις, οπότε ας δούμε τι πρέπει να γίνει για ν' ανταποκριθεί ο μαθητής σωστά σ' ένα τόσο φορτωμένο πρόγραμμα.
1ο βήμα: ολιγόωρη ξεκούραση.
Μετά από μία μέρα γεμάτη πληροφορίες από διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα, είναι αναγκαία μία σύντομη παύση για ανασύνταξη των δυνάμεων. Αν αυτή δεν είναι εφικτή με το πέρας των σχολικών μαθημάτων (π.χ. λόγω κάποιου φροντιστηρίου που πρέπει να πάει ο μαθητής αμέσως μετά το τέλος του σχολείου), η ξεκούραση αναβάλλεται για λίγο.
Ας πάρουμε το ευνοϊκό σενάριο: μετά το σχολείο δεν υπάρχει άμεσα κάποια υποχρέωση.
Δεδομένου ότι θα χαζολογήσουμε λίγο με τους συμμαθητές μας μετά το σχολείο, θα χάσουμε κάποιον χρόνο και κατά την επιστροφή μας στο σπίτι (π.χ. στο λεωφορείο), ένα μέρος αυτής της ολιγόωρης ξεκούρασης έχει γίνει...
...αλλά δεν είναι αρκετή. Το μεσημεριανό φαγητό είναι μία ακόμη όμορφη στιγμή της μέρας, αλλά κι αυτή περνάει γρήγορα (ειδικά αν υπάρχει και το αγαπημένο μας φαγητό στο πιάτο). Να μην δούμε και τι γίνεται στο Facebook; (όχι ότι δεν το βλέπαμε κατά την διάρκεια της μέρας, ε;) Ίσως και λίγη τηλεόραση παράλληλα; Γιατί όχι και μουσική;
Μακάρι να συνεχίζονταν αυτό για το υπόλοιπο της μέρας, αλλά δεν μπορεί. Όλα όσα προανέφερα, διαρκούν το λιγότερο μία ώρα (θα 'βαζα μιάμιση ώρα τουλάχιστον). Ο χρόνος είναι υπεραρκετός και πλέον πρέπει να σηκώσουμε τα μανίκια και να ξαναπιάσουμε δουλειά.
Στην περίπτωση του μη ευνοϊκού σεναρίου τώρα: μετά το σχολείο υπάρχει άλλο μάθημα (π.χ. φροντιστήριο, ωδείο, αθλητισμός).
Όπως προείπα, η ξεκούραση αναβάλλεται. Αν δε υπάρχουν διαδοχικές υποχρεώσεις, ίσως ν' αργήσει ακόμη περισσότερο.
Τι κάνουμε τότε; Αυτό θα φανεί στο 2ο βήμα.
2ο βήμα: ορθή κατανομή χρόνου και ενέργειας.
Αυτό που ονομάζουμε «προγραμματισμό». Εντάξει, παίρνουμε πρόγραμμα από το σχολείο, παίρνουμε πρόγραμμα από τις εξωσχολικές μας δραστηριότητες, άρα έχουμε μπει σε πρόγραμμα.
Όχι, δεν έχουμε μπει. Έχουμε δεσμεύσει (ή μάλλον, άλλοι μας έχουν δεσμεύσει) κάποιες ώρες της ημέρας, αλλά δεν έχουμε μπει ακόμη σε πρόγραμμα, δεν έχουμε κάνει προγραμματισμό δηλαδή. Το να πω «Μέχρι τις 2 έχω σχολείο, 2-4 έχω Μαθηματικά στο φροντιστήριο, 4-5:30 έχω αγγλικά» και πάει λέγοντας, δεν είναι προγραμματισμός. Δεν έχουμε πιάσει ακόμη να κατανείμουμε ορθά τον χρόνο και την ενέργειά μας.

Προγραμματισμός σημαίνει πώς θ' αξιοποιηθούν οι «κενές ώρες», δηλαδή οι ώρες που δεν υπάρχει κάποια εξωσχολική υποχρέωση. Πόση ώρα θα ξεκουραστώ, τι θα κάνω 4-6 που δεν έχω κάποιο μάθημα, με ποια σειρά θα διαβάσω και θα προετοιμαστώ για την επόμενη μέρα, τι ώρα θα κοιμηθώ.
Επειδή το πρόγραμμα Δευτέρας - Παρασκευής είναι -σχεδόν πάντα- φορτωμένο, ο σωστός προγραμματισμός ξεκινάει από το Σάββατο και την Κυριακή. Ίσως προκαλεί έκπληξη αυτό που λέω, οπότε ας εξηγήσω γιατί θεωρώ ότι τότε είναι η αρχή του σωστού προγραμματισμού. Βέβαια, το 1ο και 2ο βήμα δεν αφορούν άμεσα στα Μαθηματικά και ίσως ψάχνετε ανάμεσα στις γραμμές, πού εδώ απαντάται το ερώτημα «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;». Λίγη υπομονή και θα φτάσουμε και σ' αυτό.
Το Σαββατοκύριακο υπάρχει περισσότερος διαθέσιμος χρόνος. Όσος απ' αυτόν δεν αξιοποιείται σωστά, τόσο πιο πιεστικό γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας. Ανάλογα, όσος αξιοποιηθεί σωστά, τόσο ελαφρύτερο γίνεται το πρόγραμμα της εβδομάδας. Για να μην τρέχετε, λοιπόν, και να μην προλαβαίνετε, αξιοποιήστε σωστά τις ώρες που παρέχει το διήμερο αυτό (για μένα, είναι το χρυσό διήμερο του σωστού προγραμματισμού). Μάλιστα, αν από την αρχή της σχολικής χρονιάς γίνει αυτό, θα δείτε -με ευχάριστη έκπληξη- πώς το πενθήμερο Δευτέρα - Παρασκευή δεν θα σας είναι τόσο κουραστικό.
Προετοιμαστείτε για τις μαθητικές σας υποχρεώσεις μέχρι και την Τετάρτη. Ναι, μπορείτε να το κάνετε αυτό μέσα στο Σαββατοκύριακο. Τουλάχιστον για τις σχολικές σας υποχρεώσεις, πιστεύω ότι μπορείτε άνετα να το κάνετε. Πώς είμαι τόσο σίγουρος; Το κατάφεραν πολλοί πριν από σας, που είχαν κι αυτοί τις δικές τους εξωσχολικές υποχρεώσεις, μπορείτε και σεις.
Προσέξτε το εξής όμως: η βόλτα του σαββατόβραδου είναι κι αυτή μέσα στο πρόγραμμα (διαφωνώ με όσους την αφαιρούν), αλλά με μέτρο. Αν γυρίσετε ξημερώματα στο σπίτι, πάει η μισή Κυριακή (τουλάχιστον), οπότε χαλάει ο προγραμματισμός. Εντάξει, καμιά φορά θα το τραβήξουμε λίγο παραπάνω. «Καμιά φορά» όμως, όχι «κάθε φορά». Αν την Κυριακή ξυπνήσετε κατά τις 12, για κάνα δίωρο θα είστε ακόμη σαν ζαλισμένα κοτόπουλα, οπότε πάει η δεύτερη χρυσή μέρα.
Θα κλείσω την αναφορά μου στον σωστό προγραμματισμό, με το εξής:
είτε πρόκειται για την μελέτη Δευτέρας - Παρασκευής είτε για το Σαββατοκύριακο, πρώτα ξεκινήστε από τα «δύσκολα» μαθήματα και μετά συνεχίστε με τα «εύκολα» (τα εισαγωγικά, διότι οι χαρακτηρισμοί είναι υποκειμενικοί).
Σε ό,τι αφορά στα Μαθηματικά (για ν' αρχίσουμε σιγά σιγά να προσεγγίζουμε το θέμα μας), βάλτε τα σαν πρώτο ή δεύτερο μάθημα που θα μελετήσετε. Ο λόγος είναι «ενεργειακός», δηλαδή ξεκινώντας το διάβασμα μ' ένα «εύκολο» μάθημα, ναι μεν δεν συναντώνται δυσκολίες, καταναλώνεται όμως ενέργεια. Αν συνεχιστεί αυτό και σε δεύτερο «εύκολο» μάθημα (με το σκεπτικό «να τελειώνουμε πρώτα με τα εύκολα»), τότε η κόπωση αυξάνεται (να μην ξεχνάμε και την κόπωση όλης της μέρας, έτσι;), οπότε όταν έρθει η ώρα για τα «δύσκολα» (στην προκειμένη περίπτωση, τα Μαθηματικά), δεν έχουμε δύναμη και είτε τα παρατάμε είτε τα «πασαλείβουμε».
Η στιγμή που ερχόμαστε αντιμέτωποι με το «θηρίο».
Κι έτσι ερχόμαστε «στο ψητό». Η σωστή προετοιμασία είναι ένα «κλειδί» που θ' ανοίξει πολλές πόρτες. Αφού έχουν γίνει όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, η ώρα που ερχόμαστε αντιμέτωποι με το «θηρίο» έφτασε.
«Έχω πάρει τις ανάσες μου, έχω κάνει καλό προγραμματισμό, τώρα πρέπει να διαβάσω Μαθηματικά, να τα καταλάβω και να λύσω ασκήσεις. Πώς θα γίνει αυτό;».
Όχι με κάποιον μαγικό τρόπο. Κάθε μάθημα έχει τα «κουμπιά» του, έχει τον σωστό τρόπο προσέγγισής του, έχει το σκεπτικό του. Πολύ περισσότερο τα Μαθηματικά (χωρίς να θέλω ν' αδικήσω τα υπόλοιπα μαθήματα), που -όσο να 'ναι- είναι πιο... καταλαβαίνετε. Η σειρά που θα δείτε στην συνέχεια είναι αυτή που φέρνει τα καλύτερα αποτελέσματα. Τηρήστε την, αφήστε την να δουλέψει για κάποιο χρονικό διάστημα και απολαύστε τα θετικά της αποτελέσματα.



Α. Διαβάζετε προσεκτικά την θεωρία, τις παρατηρήσεις και
 εξηγήσεις


και τα συνοδευτικά παραδείγματα.





Δεν γίνεται ν' ασχοληθεί κανείς με Μαθηματικά, χωρίς να δημιουργήσει σωστές βάσεις από την θεωρία. Όμως, όπως αναφέρθηκε στο πρώτο μέρος του άρθρου αυτού (δες το εδώ), δεν διαβάζουμε απαραίτητα ό,τι βλέπουμε. Ο καθηγητής εξηγεί πώς διαβάζεται στην μαθηματική γλώσσα κάτι που αναφέρει η θεωρία και πώς αυτό αξιοποιείται. Αυτό ακριβώς είναι που πρέπει να προσέχετε πολύ την ώρα του μαθήματος, ώστε όταν μείνετε μόνοι σας με το βιβλίο και το τετράδιο, να θυμάστε τις εξηγήσεις που σας δόθηκαν.
Είτε πρόκειται για το σχολικό βιβλίο είτε για εξωσχολικό βιβλίο είτε για φυλλάδια σημειώσεων που παίρνετε από τον καθηγητή ή βρίσκετε στο διαδίκτυο, έχετε υποστήριξη σε εξηγήσεις για όσα θα διαβάσετε. Διαβάστε τα προσεκτικά. Τα Μαθηματικά δεν διαβάζονται σαν αθλητική εφημερίδα ή περιοδικό μόδας. Αν τα προσεγγίσετε έτσι, θα τα χάσετε.
Επειδή σε ελάχιστες περιπτώσεις η μελέτη στηρίζεται μόνο στο σχολικό βιβλίο, να θυμάστε ότι ο καθηγητής σάς δίνει επιπλέον σημειώσεις για έναν και μόνο λόγο: για να έχετε βοήθεια, όταν μείνετε μόνοι σας και ασχοληθείτε με όσα σας διδάσκει. Η σύνταξη συνοδευτικών σημειώσεων, δεν είναι ούτε εύκολη ούτε ξεκούραστη εργασία και ο καθηγητής σας δεν θα δώσει τέτοιο συνοδευτικό υλικό με σκοπό να σας βασανίσει. Εκμεταλλευθείτε την παροχή αυτής της βοήθειας, διότι δίνεται για δικό σας καλό. Μέσω αυτών, ο καθηγητής προσπαθεί να είναι δίπλα σας ακόμη και μετά το πέρας του μαθήματος στην αίθουσα.
Β. Διαβάζετε προσεκτικά τις κατευθύνσεις για τις ασκήσεις (μεθοδολογία).
Κάποιοι συνάδελφοι ίσως έχουν ενστάσεις ως προς αυτό που αποκαλείται «μεθοδολογία». Δεκτές, αλλά δεν είναι του παρόντος. Είτε συμφωνούμε είτε διαφωνούμε, μεθοδολογία για τις ασκήσεις δίνεται, υπάρχει. Είτε πούμε «κατευθύνσεις για τις ασκήσεις» είτε «μεθοδολογία», η ουσία είναι η ίδια πάνω - κάτω.
Σε έναν πολύ σημαντικό βαθμό, η μεθοδολογία είναι το «λυσάρι» των ασκήσεων. Δεν είναι λίγες οι ασκήσεις εκείνες που έχουν σταθερό θέμα (ζητούμενο, δεδομένο) και η αντιμετώπισή τους γίνεται με συγκεκριμένα βήματα. Έτσι, καταλαβαίνοντας κανείς τα βήματα αυτά (και όχι απλά μαθαίνοντάς τα ή αποστηθίζοντάς τα, αυτό δεν προσφέρει μακροπρόθεσμη βοήθεια), θέτει καλά θεμέλια για να χτίσει σ' αυτά την αυτοπεποίθησή του στα Μαθηματικά. Άλλες φορές, η μεθοδολογία χαράσσει έναν βασικό δρόμο για την αντιμετώπιση κάποιων ασκήσεων, αφήνοντας μερικά «παραθυράκια» όμως. Καλή η μεθοδολογία, αλλά δεν μπορεί να «μαντρώσει» όλες τις ασκήσεις, όλες τις πιθανές περιπτώσεις. Μόνο ο Αίολος είχε το προνόμιο να τιθασεύει τους ανέμους και να τους κρατά κλεισμένος στον ασκό του...
Η μεθοδολογία συνήθως διατυπώνεται, «Όταν ζητείται αυτό, τότε κάνουμε αυτό και μετά αυτό και μετά αυτό...». Άλλες φορές, «Όταν δίνεται αυτό, τότε κάνουμε αυτό κι αυτό...». Για να απαλύνω το κάπως βαρύ κλίμα της κατήχησης που υπάρχει στο άρθρο, δείτε την μεθοδολογία σαν «Συμβουλές επιβίωσης στην μάχη με το θηρίο». Αφού πρέπει να παλέψεις με το «θηρίο», να μην έχεις και μερικά «όπλα» στα χέρια σου; Να μην ξέρεις πώς να το προσεγγίσεις για να το νικήσεις ή -τελοσπάντων- να σταθείς επάξια έναντί του; Το θέλετε ακόμη πιο απλά; Μερικά θέματα στις ασκήσεις στηρίζονται σε συγκεκριμένα βήματα: τα κάνεις προσεκτικά, σιγά σιγά, ένα προς ένα και λύνεις την άσκηση. Θα ένιωθες άσχημα αν τα έκανες και έλυνες και μια και δυό και περισσότερες ασκήσεις; Δεν νομίζω...

Γ. Διαβάζετε προσεκτικά τις λυμένες ασκήσεις.









Μ' όποιον τρόπο κι αν τις δείτε, δηλαδή λυμένες από τον καθηγητή σας (στο σχολείο ή το φροντιστήριο) ή από κάποιοι βιβλίο ή φυλλάδιο, οι λυμένες ασκήσεις προσφέρουν πολύ μεγάλη βοήθεια και είναι κρίμα να την αφήνετε αναξιοποίητη. Δεν θα 'ταν υπερβολή, αν έλεγα ότι είναι αμαρτία να την αφήνετε αναξιοποίητη τέτοια βοήθεια. Ειδικά με τον νέο μεγάλο σας σύμμαχο, που λέγεται διαδίκτυο, πράγματι είναι αμαρτία να μην βελτιώνετε σημαντικά τις επιδόσεις σας στα Μαθηματικά με τόσες λυμένες ασκήσεις που διατίθενται. Διαβάστε αυτό το άρθρο για να δείτε προτάσεις για το πώς θ' αξιοποιήσετε σωστά την βοήθεια που υπάρχει δωρεάν στο διαδίκτυο.
Οι λυμένες ασκήσεις είναι χρυσός στην μελέτη των Μαθηματικών. Δεν συνιστώ να τις ξαναλύνετε (μην ανησυχείτε, κι από άλυτες ασκήσεις... να 'φαν κι κότες), αλλά να τις μελετάτε πολύ προσεκτικά ακολουθώντας τα εξής στάδια:
1ο ΣΤΑΔΙΟ. Διαβάστε προσεκτικά τι διατυπώνεται στην άσκηση, ποιο είναι το ζητούμενο (πάνω από το 80% των ασκήσεων λύνονται με βάση το τι ζητείται) και τι δίνεται.
2ο ΣΤΑΔΙΟ. Παρακολουθήστε τα βήματα της λύσης που έχετε μπροστά σας. Αν δεν εξηγείται τι γίνεται και γιατί, γράψτε κάπου την απορία σας και ρωτήστε τον καθηγητή σας. Αν καταλαβαίνετε τι και γιατί γίνεται, ακόμη καλύτερα. Σ' αυτό το στάδιο μελέτης της λύσης, μην δίνετε μεγάλη βαρύτητα στο πώς ακριβώς διατυπώνεται η λύση, αλλά στα βήματά της.
3ο ΣΤΑΔΙΟ. Αφού έχετε ολοκληρώσει την πρώτη ανάγνωση της λύσης, ξαναδιαβάστε την, αυτήν την φορά όμως επαναλαμβάνοντας και διακρίνοντας νοερά τα βήματά της («Από εδώ μέχρι εδώ κάνουμε αυτό, μετά κάνουμε αυτό» κ.ο.κ.) και δίνοντας περισσότερη προσοχή και βαρύτητα στις διατυπώσεις (εκφράσεις, αιτιολογήσεις) που υπάρχουν. Το θέμα δεν είναι απλά να ξέρουμε πώς λύνεται η άσκηση, αλλά και πώς διατυπώνεται η λύση της, που είναι η σκέψη μας, τα βήματα στην ουσία. Είναι εντελώς λανθασμένη η αντίληψη ότι «τα Μαθηματικά είναι x και y: άμα ξέρεις να δουλεύεις με x και y, το 'χεις». Η αλήθεια είναι εντελώς διαφορετική, αλλά αυτό δίνει τροφή για ένα άλλο άρθρο ίσως, στο οποίο θ' αναπτυχθεί η φιλοσοφία των Μαθηματικών. Οψόμεθα.
Πώς αντιμετωπίζουμε σωστά τις ασκήσεις.
Μαθηματικά χωρίς ασκήσεις, δεν νοούνται. Η κατάληξη όλων των παραπάνω, είναι η ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων.
Ασκήσεις δεν μπορεί κανένας να σας υποχρεώσει να λύσετε. Όμως, όσο τις αποφεύγετε, τόσο χειροτερεύει η σχέση σας με τα Μαθηματικά (κι αν αυτό μέχρι κάποιο σημείο δεν σας «καίει» και τόσο, έρχεται η στιγμή -ναι, για τις εξετάσεις μιλάω- που σας «καίει» και σας «τσουρουφλίζει»). Ο καθηγητής σάς δίνει ασκήσεις, όχι επειδή θέλει να σας κουράσει - ταλαιπωρήσει (ακόμη και βασανίσει, όπως κακώς πιστεύετε κάποιες φορές), αλλά επειδή ασκούμενοι θα γίνετε καλύτεροι.
Δείτε το κι έτσι: γιατί όλοι οι αθλητές επενδύουν άπειρες ώρες σε προπονήσεις; Αφού ο αγώνας θα διαρκέσει μερικά λεπτά (ή και δευτερόλεπτα, αν πρόκειται για δρομείς μικρών αποστάσεων για παράδειγμα), γιατί νωρίτερα χύνουν τόνους ιδρώτα στις προπονήσεις; Αφού ο αθλητής είναι καλός και την νίκη την έχει σίγουρη, γιατί τόσος κόπος πριν τον αγώνα; Μήπως διότι η νίκη ποτέ δεν είναι σίγουρη; Μήπως επειδή στις προπονήσεις (ασκήσεις λέγονται στα Μαθηματικά) πάντα εντοπίζονται λάθη, που ίσως την κρίσιμη στιγμή (αγώνας) αποβούν μοιραία; Ειδικά στα ατομικά αθλήματα, τα λάθη δεν μπορούν να «σωθούν» από κάποιο μέλος της ομάδας, αφού δεν υφίσταται ομάδα. Ένας κάνει το λάθος, ένας επωμίζεται την ήττα. Ένας δούλεψε σωστά και σκληρά, ένας γεύεται την νίκη.
Έτσι είναι και οι ασκήσεις στο ατομικό άθλημα των Μαθηματικών. Αυτός είναι ο σκοπός τους και γι' αυτό δίνονται από τους καθηγητές. Στους μαθητές μου λέω: «Θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα κερδίσεις, είτε είναι σωστές είτε έχουν λάθη. Μάθε απ' αυτά που έκανες σωστά, μάθε ακόμη περισσότερα απ' αυτά που δεν έκανες σωστά. Δεν θες να κάνεις ασκήσεις; Εσύ θα χάσεις, διότι δεν θα μάθεις και, την κρίσιμη ώρα, σίγουρα δεν θ' ανταποκριθείς στα θέματα. Ευθύνη δεν φέρω τότε, απλά και ξεκάθαρα. Ασκήσεις δεν αναθέτω για να σε βασανίσω, αλλά για να σε βοηθήσω να βελτιωθείς».

Επειδή όσα αναφέρθηκαν μέχρι στιγμής, αλλά και στο πρώτο μέρος του άρθρου, έχουν ως κατάληξη την ενασχόληση με την επίλυση ασκήσεων, αναγκαίο είναι να επισημανθούν κάποια σημαντικά λάθη που γίνονται και πώς αυτά μπορούν ν' αποφευχθούν.



ΛΑΘΟΣ 1ο. Ελλειπής προετοιμασία (ή και καθόλου προετοιμασία).









Σχεδόν το σύνολο της έκτασης και των δύο μερών αυτού του άρθρου, αφιερώθηκε στην σωστή προετοιμασία. Όταν αυτή δεν γίνεται ή «πασαλείβεται», το αποτέλεσμα από την ενασχόληση με τις ασκήσεις είναι προδιαγεγραμμένο (να το πω;). Η προετοιμασία είναι το πιο σημαντικό μέρος και πρέπει να εκτελείται με σοβαρότητα απ' όλους: από τους «καλούς» μαθητές (ώστε ν' αποδώσουν αυτά που μπορούν και να γίνουν ακόμη καλύτεροι) και τους «αδύναμους» μαθητές (ώστε να βελτιώσουν τις επιδόσεις τους και να γίνουν καλύτεροι επίσης). Αν, χάριν της «υποχρεώσης», πάτε κατ' ευθείαν στις ασκήσεις, χωρίς να προετοιμαστείτε σωστά, μην απογοητευθείτε από το αποτέλεσμα. Νομοτελειακά, ξέρουμε ποιο θα είναι...
Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Κατάλληλη προετοιμασία, με βάση όσα προαναφέρθηκαν.
ΛΑΘΟΣ 2ο. Αντιμετωπίζοντας τις ασκήσεις σαν αγγαρεία.
Το είπα παραπάνω, το επαναλαμβάνω διότι έχει αξία: οι ασκήσεις δεν είναι υποχρεωτικές, αφού κανένας δεν μπορεί να σας υποχρεώσει να λύσετε ασκήσεις. Ασκήσεις οι καθηγητές δεν σας δίνουμε για να σας βασανίσουμε, αλλά για να βελτιωθείτε. Όσο δεν ασχολείστε με ασκήσεις, τόσο μεγαλώνετε το χάσμα (μέχρι που έρχεται ένα χρονικό σημείο, που πλέον το χάσμα δεν γεφυρώνεται).
Ασκήσεις πρέπει οι ίδιοι να επιδιώκετε να κάνετε και να δίνετε στον καθηγητή σας να ελέγξει. Ξέρω ότι αυτό ακούγεται (μάλλον είναι) ουτοπικό, αλλά μόνο κέρδη θ' αποκομίσετε. Όταν ο καθηγητής δεν δίνει ασκήσεις, αυτό δεν πρέπει να σημαίνει «λούφα» για σας, μα το ακριβώς αντίθετο: περισσότερος χρόνος για την σωστή προετοιμασία.
Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Ασκήσεις κάνετε για δικό σας καλό. Το πόσο εύκολα ή δύσκολα θα σας βγουν, εξαρτάται ΚΑΙ από την θετική στάση σας έναντί των. Αυτό είναι θέμα ψυχολογίας και ο καθηγητής μπορεί ελάχιστα να βοηθήσει, αν υψώσετε τείχος και το υπερασπίζεστε με σθένος. Το τείχος αυτό νομίζετε ότι σας προστατεύει, μα κάνει το αντίθετο στην πραγματικότητα.
ΛΑΘΟΣ 3ο. Διαβάζοντας την εκφώνηση, σαν να πρόκειται για κείμενο αθλητικής εφημερίδας ή περιοδικού μόδας.
Ακόμη και σωστή προετοιμασία να έχει γίνει, στον «στίβο» των ασκήσεων υπάρχουν νέα τερτίπια. Το βασικότερο, ο τρόπος ανάγνωσης της εκφώνησης της άσκησης. Αν η άσκηση δεν διαβαστεί με τον σωστό τρόπο, είτε δεν θα καταλάβουμε τι λέει (τι δίνει, τι ζητάει) είτε θα παρερμηνεύσουμε αυτά που λέει. Σε κάθε περίπτωση, μπαίνουμε «με το αριστερό» και η γρουσουζιά παραμονεύει.
Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Η εκφώνηση μιας άσκησης διαβάζεται αργά, πολύ αργά, λέξη προς λέξη, σύμβολο προς σύμβολο. Κάθε τι που είναι γραμμένο, έχει τον λόγο που γράφεται. Η γρήγορη ανάγνωση, ενίοτε και η επιλεκτική ανάγνωση, οδηγεί είτε σε λάθη είτε σε αδυναμία επίλυσης της άσκησης. Επειδή η γλώσσα των Μαθηματικών είναι εξαιρετικά περιεκτική, κάθε λέξη μετράει, διότι μπορεί να οδηγήσει σε μια αλληλουχία κινήσεων που στηρίζονται είτε στην θεωρία είτε στην μεθοδολογία είτε και στα δύο.
ΛΑΘΟΣ 4ο. Δίνοντας βαρύτητα στα δεδομένα και όχι στο ζητούμενο.
Μέγα πλήθος ασκήσεων έχει πολύ χαρακτηριστική εκφώνηση, οπότε έχει και πολύ χαρακτηριστικό τρόπο αντιμετώπισης. Είναι κρίμα να χάνονται τέτοιες ασκήσεις, όταν το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι να ακολουθήσετε τα βήματα που υπάρχουν στο «λυσάρι» σας, δηλαδή την μεθοδολογία. Με βιαστική ανάγνωση, ακόμη και προφανείς κινήσεις μπορεί να χαθούν, αλλά και με λάθος αφετηρία στην ανάγνωση μπορεί να επέλθει το ίδιο αποτέλεσμα.
Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Ξεκινήστε την ανάγνωση δίνοντας μεγαλύτερη βαρύτητα στο ζητούμενο παρά στα δεδομένα. Ειδικά στην Άλγεβρα (αλλά και στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου), το τι θα κάνετε εξαρτάται από το τι ζητείται (σε συντριπτικό ποσοστό). Τα δεδομένα πολλές φορές φαίνονται εξ αρχής ασύνδετα ή και περίεργα, κάποιες φορές ακόμη και τρομακτικά.
Ψυχραιμία. Το πώς θα αξιοποιήσετε τα δεδομένα, θα φανεί στην πορεία. Γι' αυτό, ξεκινήστε να διαβάζετε την άσκηση από το ζητούμενο και, στην πορεία, θα δείτε πώς θα αξιοποιήσετε αυτά που δίνονται. Αν δεν υπάρχει κάτι χαρακτηριστικό στο ζητούμενο, τότε στραφείτε στα δεδομένα να βρείτε εκεί κάτι χαρακτηριστικό απ' το οποίο θα πιαστείτε για να ξεκινήσετε την λύση. Αν υπάρχει χαρακτηριστικό και στα δεδομένα και στο ζητούμενο, τότε δώστε προτεραιότητα στο ζητούμενο. Αν δεν υπάρχει τίποτα χαρακτηριστικό πουθενά, τότε θα χρειαστεί αυτοσχεδιασμός (γι' αυτό λέμε ότι η μεθοδολογία δεν μπορεί να «μαντρώσει» όλες τις περιπτώσεις).
ΛΑΘΟΣ 5ο. Εγκαταλείποντας στην πρώτη δυσκολία.
Κανένας μας δεν έμαθε Μαθηματικά μέσα σε μια νύχτα και κανένας δεν υπάρχει, που να μην έχει «φάει τα μούτρα του» σε ασκήσεις. Επομένως, μην ανησυχείτε για τις δυσκολίες που συναντάτε, είναι εντελώς φυσιολογικές. Σκεφθείτε το εξής: ποδήλατο μάθατε να κάνετε αμέσως; Δεν πέσατε ποτέ; Μπάσκετ μάθατε να παίζετε με το που πιάσατε μπάλα; Δεν δυσκολευθήκατε ποτέ; Τα παραδείγματα, βέβαια, δεν είναι συγκρίσιμα με το θέμα των ασκήσεων, αλλά δίνουν ένα στίγμα που περιττεύει να το εξηγήσω, είναι εύκολα αντιληπτό.
Η ΣΩΣΤΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ. Δεν εγκατελείπουμε με την πρώτη δυσκολία που θα συναντήσουμε. Ανοίγουμε ξανά τα βιβλία μας, τις σημειώσεις και τα τετράδιά μας, διότι η απάντηση κάπου εκεί είναι. Ψάχνουμε για ανάλογη -ή και ίδια- άσκηση, να την ξαναδιαβάσουμε και να εντοπίσουμε το λάθος μας, το σημείο που μας δυσκολεύει. Η θεωρία και η μεθοδολογία δίνουν πολλές απαντήσεις επίσης. Αν δεν την βρούμε, καταγράφουμε την απορία μας και ζητάμε βοήθεια, είτε από τον καθηγητή μας είτε από τους πολλούς και πρόθυμους καθηγητές στο διαδίκτυο.
Επιμένουμε, δεν εγκαταλείπουμε.
Ψάχνουμε, δεν εγκαταλείπουμε.
Ξαναδιαβάζουμε πιο προσεκτικά, δεν εγκαταλείπουμε.
Το παλεύουμε, δεν εγκαταλείπουμε.
Αν δεν καταφέρουμε να λύσουμε όλη την άσκηση, δείχνουμε στον καθηγητή μας μέχρι πού φτάσαμε και τον ρωτάμε τι πήγε στραβά και κολλήσαμε.
Το να εγκαταλείψουμε μία άσκηση, είναι ανθρώπινο και συμβαίνει σε όλους μας (δεν εξαιρώ τους καθηγητές φυσικά).
Το να εγκατελείπουμε τις ασκήσεις στην πρώτη δυσκολία όμως, δεν είναι σωστό.

Εύχομαι τα δύο μέρη του θέματος «Πώς διαβάζω Μαθηματικά;» να σας βοήθησαν, να σας προβλημάτισαν, αλλά και να σας έδωσαν κάποιες λύσεις σε προβλήματα που έχετε στα Μαθηματικά. Θέλησα να τα δημοσιεύσω στην αρχή της σχολικής χρονιάς, ώστε ν' αποτελέσουν σωστή βάση για το νέο ξεκίνημα. Πρόκειται για ένα διαχρονικό θέμα, που ελπίζουμε κάποτε ν' αφορά σε μικρή μερίδα μαθητών.
Δημήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηματικών.