-t

Πέμπτη, 12 Νοεμβρίου 2015

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΓΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ !

Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΛΛΙΩΣ  . .

Ο πολλαπλασιασμός (συχνά συμβολίζεται με το εγκάρσιο σύμβολο "×") είναι η μαθηματική πράξη της κλιμάκωσης ενός αριθμού από έναν άλλο. Είναι μία από τις τέσσερις βασικές πράξεις στη στοιχειώδη αριθμητική (οι άλλες είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση και η διαίρεση).
Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα πίνακα πολλαπλασιασμού απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του αρχαίου Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού αλγορίθμου, δεν τον απαιτεί.
Πολλαπλασιάζοντας "με το χέρι" αριθμούς, με περισσότερα από ένα ζεύγη δεκαδικών ψηφίων, είναι κουραστικό και επιρρεπές σε λάθη. Οι κοινοί λογάριθμοι εφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο λογαριθμικός κανόνας επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με ακρίβεια περίπου τριών δεκαδικών ψηφίων. Στις αρχές του εικοστού αιώνα, υπολογιστικές μηχανές, όπως η Marchant Calculator, καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφίων. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό "με το χέρι".

Ιστορικοί αλγόριθμοι


Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν από πολλούς αρχαίους πολιτισμούς, όπως ο Αιγυπτιακός, ο Ελληνικός, ο Ινδικός και ο Κινεζικός.

Το οστό Ishango, που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ, παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού κατά την Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική.

Αιγύπτιοι


Κύριο λήμμα: Αρχαίος Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός

Η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού των ακεραίων και των κλασμάτων, που τεκμηριώνεται στον Πάπυρο του Αχμόζη (Ahmes Papyrus), ήταν με διαδοχικές προσθήκες και διπλασιασμό. Για παράδειγμα, για να βρει το γινόμενο του 13 και 21 κάποιος έπρεπε να διπλασιάσει το 21 τρεις φορές, κάνοντας δηλαδή 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. Το πλήρες γινόμενο στη συνέχεια θα μπορούσε να βρεθεί με την προσθήκη των κατάλληλων όρων που βρέθηκαν στην αλληλουχία διπλασιασμού:
13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273

Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα εξηνταδικό (sexagesimal) μεταθετικό αριθμητικό σύστημα, ανάλογο με τη σύγχρονη εποχή δεκαδικό σύστημα. Έτσι, ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν κατά πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί εφήυραν τους πολλαπλασιαστικούς πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού ν (π.χ. ν, 2ν, ..., 20ν), ακολουθούμενοι από τα πολλαπλάσιά του 10ν (π.χ. 30ν 40ν, και 50ν). Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε εξηνταδικό γινόμενο, π.χ. 53ν, χρειάζεται μόνο να προσθέσεις το 50ν και το 3ν που είναι υπολογισμένα στον πίνακα.


Κινέζοι


Στο μαθηματικό κείμενο Zhou Bi Suan Jing, που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα Εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη, πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον Ολοκληρωτικό λογισμό που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθη στις αραβικές χώρες από τον Al Khwarizmi κατά τις αρχές του 9ου αιώνα.

Σύγχρονη μέθοδος




Η σύγχρονη μέθοδος του πολλαπλασιασμού με βάση το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα αρίθμησης περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta. Ο Brahmagupta έδωσε κανόνες για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο Henry Burchard Fine, μετέπειτα καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνσετον, έγραψε τα ακόλουθα:

Οι Ινδοί είναι οι εφευρέτες όχι μόνο του μεταθετικού δεκαδικού συστήματος, αλλά και των περισσότερων δαδικασιών που αφορούν τον κύριο υπολογισμό του συστήματος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση που εκτέλεσαν είναι παρόμοιες με αυτές που εκτελούνται στις μέρες μας. Ο πολλαπλασιασμός επηρέασε πολλούς τρόπους, μεταξύ αυτών και τον δικό μας, αλλά η διαίρεση τους ήταν πολύ περίπλοκη. PIIIIIIIIIIIIIIIII





Πολλαπλασιασμοί για κάθε ..γούστο!!!




Δείτε έναν εντυπωσιακό τρόπο υπολογισμού του γινομένου οποιουδήποτε πολλαπλασιασμού.

Η Τεχνική προέρχεται από την Ιαπωνία και είναι πολύ απλή. Μετατρέπουν τους αριθμούς σε γραμμές και μετρούν τα σημεία τομής. Και με έναν απίθανο τρόπο προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού






H πράξη του πολλαπλασιασμού  σε διάφορες κουλτούρες . 

 Πολλαπλασιασμός αλά Ρωσικά

 Τον χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι χωρικοί πριν από 200 χρόνια, τώρα τον χρησιμοποιούν οι προγραμματιστές  στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους  αριθμούς 25 και 42 .Γράφουμε τους δυο αριθμούς σε δυο στήλες .Επιλέγουμε  μια στήλη ας πούμε την αριστερή και διαιρούμε διαδοχικά τον αριθμό δια του 2 αψηφώντας το υπόλοιπο ,ωσότου να φτάσουμε στην μονάδα. Στην δεξιά στήλη διπλασιάζουμε διαδοχικώς τις ποσότητες έτσι ώστε οι αριθμοί στις δυο στήλες  να σχηματίζουν γραμμές.
    25    42
   12     84
    6      168
    3      336
    1       672
Υπογραμμίζουμε  τους αριθμούς της αριστερής στήλης που είναι περιττοί.
   25       42
   12       84
    6      168
    3      336
    1      672
 Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς της δεύτερης στήλης   που βρίσκονται δίπλα σε υπογραμμισμένο αριθμό.
42+336+672=1050.Ο αριθμός 1050  είναι το ζητούμενο γινόμενο
  
Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός

 Στον πάπυρο Ρίντ, την πλουσιότερη πηγή που διαθέτουμε  για τα αιγυπτιακά μαθηματικά  υπάρχει σαφής αναφορά για τον τρόπο  με τον οποίο πολλαπλασίαζαν οι  αρχαίοι Αιγύπτιοι. Έστω ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 31x42 , σύμφωνα με τους αρχαίους Αιγύπτιους γράφουμε  την μονάδα σε μια στήλη και σε μια άλλη, διπλανή στήλη τον ένα από τους δυο παράγοντες του πολλαπλασιασμού .Κατόπιν χωρίζουμε τις δυο στήλες με καθετή γραμμή.
Δηλαδή:
                                    1       31

   Στην συνέχεια διπλασιάζουμε διαδοχικά  τους δυο αριθμούς, μέχρις  ότου ο μικρότερος αριθμός (αυτός δηλαδή από την στήλη που ξεκινά με την μονάδα) να είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο παράγοντα ( το 42 δηλαδή)
                                    1         31
                                    2          62
                                    4        124
                                    8        248
                                    16       496
                                    32        992
                                    64      1984
Στην αριστερή στήλη, και από  κάτω προς τα πάνω, αθροίζουμε τους πρώτους αριθμούς που το άθροισμα τους να είναι 42 (στο παράδειγμα 32+8+2).Ακολούθως, αθροίζουμε όλους τους αριθμούς της δεξιάς στήλης  που βρίσκονταν στην ιδία γραμμή με τους προηγούμενους αριθμούς .Στην περίπτωση μας  θα ήταν:62+992+248=1302, που όντως είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 31x42.

Αραβικός πολλαπλασιασμός

Οι άραβες  έκαναν διαφορετικά τον πολλαπλασιασμό. Δειτε:
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 349 x37 .
Τοποθετούμε τους αριθμούς  349,37 στον παρακάτω πίνακα  ως εξής:
                  
Τοποθετούμε τους δυο όρους του γινομένου (349,37) τον έναν οριζόντια και τον άλλο κάθετα στον παραπάνω πίνακα .Χωρίζουμε με μια διαγώνια γραμμή τα έξι κελιά που ορίζουν οι όροι του γινομένου. Πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο του οριζοντίου όρου(349) με  κάθε ψηφίο του κάθετου όρου(37). Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός  που  θα καταχωρηθεί στο αντίστοιχο κελί ανά ψηφίο στα δυο μέρη του αντίστοιχου κελιού. (Δείτε το σχήμα)
Αφού συμπληρωθεί ο πίνακας αθροίζουμε διαγώνια .(στο σχήμα τα διαγώνια αθροίσματα έχουν διαφορετικά χρώματα)
                   
Άρα τελικά 349x37=12913.



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου