-t

Σάββατο, 29 Σεπτεμβρίου 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ 3

Τι είναι μια πολική άρκούδα; Μια τετράγωνη αρκούδα μετά από μετασχηματισμό.

Όταν ρωτήθηκε αν πιστεύει σε έναν Θεό, ένας μαθηματικός απάντησε : "Αμέ, μέχρι ισομορφισμού" 
πάμε και σε μερικές αποδείξεις...

α. Όλοι οι θετικοί ακέραιοι είναι ενδιαφέροντες

Απόδειξη : Έστω ότι ισχύει το αντίθετο. Τότε υπάρχει ένας ελάχιστος μη ενδιαφέρων θετικός ακέραιος. Ουάοου, αυτό είναι ενδιαφέρον! Αντίφαση! => Ο.Ε.Δ

β.Το θεώρημα της γάτας : Οι γάτες έχουν 9 ουρές

Απόδειξη : Καμία γάτα δεν έχει 8 ουρές. Μια γάτα έχει μια περισσότερη ουρά από καμία γάτα. Ο.Ε.Δ

γ. Το θεώρημα του μισθού :Όσο λιγότερα ξέρεις, τόσα περισσότερα κερδίζεις

Απόδειξη : Έστω οτι η γνώση είναι δύναμη (1)και ο χρόνος χρήμα(2) .

Γνωρίζουμε ότι Δύναμη = Έργο/Χρόνο. άρα από 1, και 2 Γνώση=Έργο/Χρήμα.


Λύνοντας ώς προς το χρήμα βρίσκουμε ότι Χρήμα=Έργο/Γνώση. Έτσι είναι προφανές ότι Χρήμα->+οο όταν Γνώση->0
Δύο φίλοι κάνουν ένα ταξίδι με αερόστατο. Κάποια στιγμή αρχίζει να βρέχει. Σε πολύ λίγο η βροχή γίνεται καταιγίδα και το αερόστατο κομμάτια. Πυξίδες και χάρτες χάνονται. Οι δύο φίλοι κρατιούνται από κάτι σκοινιά και καταφέρνουν να προσγειωθούν σώοι και αβλαβείς σε ένα λιβάδι. Η καταιγίδα έχει πια σταματήσει και περίπου στο κέντρο του λιβαδιού μπορούν να διακρίνουν έναν άντρα να διαβάζει. Πάνε λοιπόν προς το μέρος του και τον ρωτάνε:
- "Συγνώμη, μήπως ξέρετε που βρισκόμαστε;"
Ο άντρας κοιτάει για λίγο γύρω του, σκέφτεται και λέει:
- "Βρίσκεστε στη μέση ενός λιβαδιού."
Οι φίλοι τον ευχαριστούν και φεύγουν. Όταν απομακρύνονται κάπως, λέει ο ένας στον άλλο:
- "Αυτός ήταν μαθηματικός!"
- "Που το κατάλαβες;" ρωτάει ο άλλος.
- "Πρώτον σκέφτηκε πριν απαντήσει και δεύτερον έδωσε μια σωστή απάντηση με ακρίβεια, που όμως δε μας χρησιμεύει σε τίποτα!"
'Ενας γιατρός, ένας δικηγόρος και ένας μαθηματικός συζητάνε για το αν είναι καλύτερο να έχεις γυναίκα ή ερωμένη.
Λέει ο γιατρός: «Είναι καλύτερα να έχεις γυναίκα, γιατί έτσι έχεις τη σταθερότητα και την ηρεμία που χρειάζεσαι για να μπορείς να χαλαρώνεις μετά από μια κουραστική μέρα στη δουλειά.»
«Διαφωνώ» λέει ο δικηγόρος. «Είναι καλύτερα να έχεις ερωμένη, διότι αν είσαι παντρεμένος και θέλεις να χωρίσεις, η γραφειοκρατία για το διαζύγιο είναι τρομερή.»
Μετά από λίγη ώρα απαντά ο μαθηματικός: «Είναι καλύτερα να έχεις και γυναίκα και ερωμένη, γιατί όταν η γυναίκα σου νομίζει ότι είσαι με την ερωμένη και η ερωμένη νομίζει ότι είσαι με τη γυναίκα σου, έχεις λίγο ελεύθερο χρόνο να κάνεις μαθηματικά!»
3 Στατιστικολόγοι πάνε για κυνήγι. Ξαφνικά βλέπουν ένα λάγο. Πυροβολεί ο ένας, χτυπάει 2 μετρα δεξιά του. Πυροβολεί ο δεύτερος, χτυπάρι 2 μέτρα αριστερά του. Οπότε φωνάζει ο τρίτος: "Τον πετύχαμε!"

Ο αριθμός που καλέσατε ειναι φανταστικός. Παρακαλώ περιστέψτε το τηλεφωνο σας 90 μοιρες και δοκιμαστε ξανα.

Ο πατέρας ενός παιδίου απογοητευμένος από την απόδοση του γιού του στα μαθηματικά, αποφασίζει να των γράψει σε θρησκευτικό σχολείο. Στο τέλος του τριμήνου λοιπον, βλέπει στον έλεγχο 20 στα μαθηματικά. Αν και ευτυχισμένος ο πατέρας, ζηταει να μαθει το πως εγινε ο γιος του να παει από την μια στιγμή στην άλλη τόσο καλα... Οποτε του λεει ο γιος του..:
"Ξερεις... απο την στιγμή που μπήκα στην τάξη και είδα αυτόν τον τύπο καρφωμένο στο σύμβολο της πρόσθεσης, κατάλαβα αμέσως ότι σε αυτό το μέρος είναι σοβαρά τα πράγματα"
Ο Θεός δημιούργησε τα μαθηματικά και την γυναίκα και είπε:
- Η γυναίκα θα είναι η πρόσθεση τον ηδονών, ο πολλαπλασιασμός των προβλημάτων και η αφαίρεση των φίλων ...
Ποιά η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος \int_{\gamma}1/z, όπου {\gamma} η καμπύλη των συνόρων της Ευρώπης?
Απάντ: Μηδέν. Οι Πόλοι είναι εκτός της καμπύλης 
Πρόβλημα: Αποδείξτε ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί με το 3 είναι πρώτοι.


Μαθηματικός: το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι πρώτος, το 7 είναι πρώτος, το 9 δεν είναι, άρα ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής.

Φυσικός: το 3 είναι πρώτος, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 είναι πειραματικό λάθος, το 11 είναι  … κλπ

Μηχανικός: το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 είναι, το 11 είναι, το 13 είναι, το 15 είναι …


Προγραμματιστής: το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι, το 7 είναι …


Βιολόγος: το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 (δεν έχουν βγει τα αποτελέσματα ακόμη) …


Στατιστικολόγος: Ας δοκιμάσουμε μερικούς τυχαία εκλεγμένους αριθμούς: το 23 είναι το 17 είναι, το 11 είναι…

Πωλητής Η/Y: το 3 είναι, το 5 είναι, το 7 είναι, το 9 θα γίνει στην επόμενη version 
Ερμηνεία λέξεων που θα ακούσετε σε ένα αμφιθέατρο μαθηματικού τμήματος :

ΠΡΟΦΑΝΩΣ = Έχει 7 πίνακες απόδειξη και βαριέμαι να τη γράψω

ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ = Άμα δεν ξέρεις να το βγάζεις αυτό, είσαι σε λάθος τμήμα

ΧΩΡΙΣ ΒΛΑΒΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΗΤΑΣ = Τώρα σιγά μην κάθομαι να σου εξηγώ τα πάντα, βρές τα υπόλοιπα και τις συνέπειες μόνος σου

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ= …αλλά θα μας πάρει περίπου δύο βδομάδες και -πάλι- βαριέμαι

ΑΥΤΟ ΕΛΕΓΞΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ = Ρε πόσο μα πόσο βαριέμαι. Άσε που δεν είμαι σίγουρος για το τι θα βγεί..

ΚΟΜΨΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ = Αυτός που τη σκέφτηκε έκανε ένα λογικό άλμα ίσα από δω μέχρι την Αυστραλία, είχε τρελλή φαντασία και κατάφερε να αποδείξει αυτό το απίστευτο πράμα σε λιγότερο από 10 γραμμές

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΛΕΙΠΕΤΑΙ = Εκτός του ότι δεν είμαι σίγουρος πως τη θυμάμαι απ έξω, βαριέμαι κιόλας.
Πανεπιστήμιο ιωαννίνων.....(αληθινό γεγονός! )
Είναι ένας φοιτητής παρα πολύ καλός, διαβάζει όλη την ημερα μαθηματικά και δεν ασχολείται με τίποτα άλλο.
Τον ρωτάει κάποιος άλλος μια μέρα: ρε φιλε, εσύ τι σειρά lost την ξέρεις??
Και απαντάει:την έχει κάνει ο Ντούγιας??!!!!!!!!!!!!!
(Ντούγιας=καθηγητής ιωαννίνων)
Λέει η μάνα του Τοτού:

- Τοτέ άμα κοπείς στο διαγώνισμα των μαθηματικών, ξέχνα ότι ΄σαι παιδί μου.

Μετά από μερικές ώρες τον ξαναρωτάει :

- Πώς τα πήγες;

Κι απαντάει ο Τοτός:

- Γνωριζόμαστε κυρία μου;
Ο Chuck Norris λυνει sudoku με μιγαδικους!  

Mathematical jokes

Heisenberg is driving along the Autobahn and gets pulled over. The policeman asks, "Excuse me, sir, do you know how fast you were going?" Heisenberg responds, "Not at all, but I know precisely where I am."


Two scientists are sitting in a bar. A blonde walks by them and one of the scientists sighs "Why are blondes so attractive?"
To this, the friend replies "because they are so dense."


A neutron walks into a bar and orders a drink. "How much do I owe you," he asks the bartender. "For you," responds the bartender, "no charge."


An atom is walking down the street when he meets a friend of his, who is evidently distraught. "What's the matter...is everything OK?" the atom asks his friend. "Well, I think I might have lost an electron," responds the other atom. "Are you sure?" asks the first. "I'm positive!" replies his friend.


A physicist, a mathematician, and an engineer are sitting around and one of them says "It says here that Professor X has come up with a new theorem that all odd numbers greater than 2 are prime". Each person present thinks to himself:
Mathematician: 3 is prime, 5 is prime, 7 is prime, the rest follows by Mathematical induction.
Physicist: 3 is prime, 5 is prime, 7 is prime, 9 is an experimental error, 11 is prime...
Engineer: 3 is prime, 5 is prime, 7 is prime, 9 is approximately prime, 11 is prime, 13 is prime ...
Mechanical engineer: 3 is prime, 4 is prime, 5 is prime, 6 is prime...
Computer engineer: 3 is prime, 5 is prime, 7 is prime, 7 is prime, 7 is prime...
Biologist: 3 is a prime, 5 is a prime, 7 is a prime, 9 -- results have not arrived yet,...



A mathematician, a biologist and a physicist are sitting in a street cafι watching people going in and coming out of the house on the other side of the street. First they see two people going into the house. Time passes. After a while they notice three persons coming out of the house. The physicist says, "The measurement wasn't accurate." The biologist says, "They must have reproduced." The mathematician says, "If one more person enters the house then it will be empty."

Why do mathematicians like national parks?
Because of the natural logs.





Person 1: What's the integral of 1/cabin?
Person 2: Log cabin.
Person 1: No, a houseboat – you forgot to add the c!



There are only 10 types of people in the world — those who understand binary, and those who don't.


If only DEAD people understand hexadecimal, how many people understand hexadecimal?


Why do mathematicians think Halloween and Christmas are the same?
Because 31 Oct = 25 Dec.


A physicist, a mathematician, and a mystic were asked to name the greatest invention of all time. The physicist chose the fire, which gave humanity the power over matter. The mathematician chose the alphabet, which gave humanity power over symbols. The mystic chose the thermos bottle.
"Why a thermos bottle?" the others asked.
"Because the thermos keeps hot liquids hot in winter and cold liquids cold in summer."
"Yes -- so what?"
"Think about it." said the mystic reverently. That little bottle -- how does it *know*?"




Several scientists were all posed the following question: "What is 2 * 2 ?"
The engineer whips out his slide rule (so it's old) and shuffles it back and forth, and finally announces "3.99".
The physicist consults his technical references, sets up the problem on his computer, and announces "it lies between 3.98 and 4.02".
The mathematician cogitates for a while, then announces: "I don't know what the answer is, but I can tell you, an answer exists!".
Philosopher smiles: "But what do you mean by 2 * 2 ?"
Logician replies: "Please define 2 * 2 more precisely." 
The sociologist: "I don't know, but is was nice talking about it".
Behavioral Ecologist: "A polygamous mating system".
Medical Student : "4" All others looking astonished : "How did you know ??" Medical Student : :I memorized it."


A mathematician is asked to design a table. He first designs a table with no legs. Then he designs a table with infinitely many legs. He spend the rest of his life generalizing the results for the table with N legs (where N is not necessarily a natural number).


A mathematician, scientist, and engineer are each asked: "Suppose we define a horse's tail to be a leg. How many legs does a horse have?" The mathematician answers "5"; the scientist "1"; and the engineer says "But you can't do that!


A team of engineers were required to measure the height of a flag pole. They only had a measuring tape, and were getting quite frustrated trying to keep the tape along the pole. It kept falling down, etc. A mathematician comes along, finds out their problem, and proceeds to remove the pole from the ground and measure it easily. When he leaves, one engineer says to the other: "Just like a mathematician! We need to know the height, and he gives us the length!"


The physicist and the engineer are in a hot-air balloon. Soon, they find themselves lost in a canyon somewhere. They yell out for help: "Helllloooooo! Where are we?"
15 minutes later, they hear an echoing voice: "Helllloooooo! You're in a hot-air balloon!!"
The physicist says, "That must have been a mathematician."
The engineer asks, "Why do you say that?"
The physicist replied: "The answer was absolutely correct, and it was utterly useless."



Dean, to the physics department. "Why do I always have to give you guys so much money, for laboratories and expensive equipment and stuff. Why couldn't you be like the math. department - all they need is money for pencils, paper and waste-paper baskets. Or even better, like the philosophy department. All they need are pencils and paper."

A mathematician organizes a lottery in which the prize is an infinite amount of money. When the winning ticket is drawn, and the jubilant winner comes to claim his prize, the mathematician explains the mode of payment: "1 dollar now, 1/2 dollar next week, 1/3 dollar the week after that..."


When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. "Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer..."



"Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about."


This poem was written by Jon Saxton (an author of maths textbooks).
((12 + 144 + 20 + (3 * 4^(1/2))) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0
Or for those who have trouble with the poem:
A Dozen, a Gross and a Score,
plus three times the square root of four,
divided by seven,
plus five times eleven,
equals nine squared and not a bit more.

Why was six afraid of seven? Because 7 8 9.






Computer Science student: "My computer ate my data, it's trying to get me in trouble."
CS Instructor: "Don't anthropomorphize computers, they don't like it."
A mechanical engineer, an electrical engineer and a Windows Software engineer were out riding,
when their car broke down,and they couldn't get it started. The mechanical engineer suggested that
it might be out of gas, but after checking it out he found that it had plenty of gas. 
The electrical engineer thought it might be the ignition system; lifted the hood and decided that everything was OK.
The Software engineer said, "Why don't we all  roll the windows up, get out of the car, get back in the car
and roll the windows down again then see if it starts?"


Q: What is the definition of a polar bear?
A: A rectangular bear after a coordinate transformation


Q: Why do you rarely find mathematicians spending time at the beach?
A: Because they have sine and cosine to get a tan and don't need the sun!

Q: Why do mathematicians, after a dinner at a Chinese restaurant, always insist on taking the leftovers home?
A: Because they know the Chinese remainder theorem!

"That math prof's marriage is falling apart!"
"No wonder! He's into scientific computing - and she's incalculable!"


Q: What is the difference between a Ph.D. in mathematics and a large pizza?
A: A large pizza can feed a family of four...

Math problems? Call 1-800-[(10x)(13i)2]-[sin(xy)/2.362x].


 
 
A guy decided to go to the brain transplant clinic to refreshen his
supply of brains. The secretary informed him that they had three
kinds of brains available at that time. Doctors' brains were going
for $20 per ounce and lawyers' brains were getting $30 per ounce. And
then there were mathematicians' brains which were currently fetching
$1000 per ounce.

"1000 dollars an ounce!" he cried. "Why are they so expensive?"

It takes more mathematicians to get an ounce of brains," she explained.

An experimental physicist, a theoretical physicist and a mathematician are discussing what is better: a wife or a girlfriend.
The experimental physicist: "A girlfriend, because you still have freedom to experiment."
The theoretical physicist: "A wife, because of security."
The mathematician: "Both. When I'm not with my wife, she thinks I'm with my girlfriend. With my girlfriend it's vice versa. And I can be at the library without anyone disturbing me..."


What is the fundamental principle of engineering mathematics?
Every function has a Taylor series which converges to the function and breaks off after the linear term.

A math professor is talking to her little brother who just started his first year of graduate school in mathematics.
"What's your favorite thing about mathematics?" the brother wants to know.
"Knot theory."
"Yeah, me neither."

"What happened to your girlfriend, that really cute math student?" – "She no longer is my girlfriend – I have left her. A couple of nights ago I called her on the phone, and she told me that she was in bed wrestling with three unknowns..."

 π equals three, for sufficiently small π and sufficiently  large 3...

2 is the oddest prime.


The Programmers' Cheer --
Shift to the left, shift to the right! Pop up, push down, byte, byte, byte! 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ 2

Ειναι δυο μαθηματικοι σε ενα εστιατοριο. Ο ενας υποστηριζει οτι η πλειοψηφια του λαου γνωριζει μαθηματικα ενω ο αλλος οτι στην πλειονοτητα τους ειναι ασχετοι. Καποια στιγμη ο δευτερος σηκωνεται να παει στην τουαλετα, οποτε ο αλλος φωναζει μια γκαρσονα, της δινει 50 ευρω και της λεει :

-"Σε λιγο που θα γυρισει ο φιλος μου, θα σε φωναξω και θα σου κανω μια ερωτηση. Δεν εχει σημασια τι θα σε ρωτησω, εσυ πρεπει να μου απαντησεις χι στον κυβο δια τρια. Καταλαβες;"

- "Χιστοκι... τι πραγμα;"

-"ΧΙ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ ΔΙΑ ΤΡΙΑ. Ενταξει;"

-"Ενταξει". Και φευγει μουρμουριζοντας "Χι στον κυβο δια τρια, χι στον κυβο δια τρια..."

Γυριζει ο αλλος και ο φιλος του του λεει : "Θα σου αποδειξω πως εχω δικιο. Θα φωναξω τη γκαρσονα και θα τη ρωτησω ποιο ειναι το ολοκληρωμα του χ^2. Θα δεις οτι θα το ξερει."

Τη φωναζει λοιπον και της λεει : "Σε παρακαλω, μπορεις να μου πεις το ολοκληρωμα του χ^2;"

Εκεινη απανταει : "Χ στον κυβο δια τρια."

"Ευχαριστω, μπορεις να πηγαινεις." λεει ο μαθηματικος με θριαμβευτικο υφος.

Η γκαρσονα κανει μερικα βηματα, ξαφνικα ξαναγυριζει και του λεει :

"Συν μια σταθερα."
Ένας μηχανικός, ένας φυσικός, ένας μαθηματικός και ένας προγραμματιστής συζητούσαν για το ποιο είναι το αρχαιότερο επάγγελμα (ναι, ναι, ξέρουμε πιο είναι, ΕΚΤΩΣ αυτού λέμε τώρα.)

Λέει ο μηχανικός "κοιτάξτε πως έχουν φτιαχτεί οι γαλαξίες, αστέρες, πλανήτες από την ύλη του σύμπαντος."

Λέει ο φυσικός "ναι, αλλά η ύλη έπρεπε πρώτα να δημιουργηθεί, βλέπε πρωτόνια, ηλεκτρόνια, φωτόνια..."

Λέει ο μαθηματικός "αλλά για να γίνει αυτό έπρεπε πρώτα να φτιαχτούν οι μαθηματικοί κανόνες που είναι ικανοί να περιγράψουν όλο αυτό το χάος."

Λέει και ο προγραμματιστής "και εσείς από που νομίζετε ήρθε το χάος..."
Υπάρχουν τρία ήδη μαθηματικών: αυτοί που ξέρουν να μετράνε και αυτοί που δεν ξέρουν.
Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων: Αυτοί που ξέρουν δυαδικό και αυτοί που δεν ξέρουν 
Ποιο είναι το συντομότερο μαθηματικό ανέκδοτο;
Έστω ε αρνητικό
1)Πως λέγεται η παρθένα συνάρτηση?

Κάτω φραγμένη!

2)Σ’ ένα συνέδρειο μάζεψαν τους μαθηματικούς και τους φυσικούς, και τους ανάθεσαν το εξής πρόβλημα: Έστω ότι έχετε στη διάθεση σας έναν πλαστικό κουβά με νερό, ένα σκεύος pyrex ικανό να χωρέσει το περιεχόμενο του κουβά και ένα ηλεκτρικό μάτι. Ποιος ο βέλτιστος τρόπος για να ζεστάνετε το νερό;

Οι φυσικοί, συσκέφτηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία, έκαναν μερικά πειράματα, και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κουβά στο pyrex, τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.
Οι μαθηματικοί, με τη σειρά τους, συσκέφτηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κουβά στο pyrex, τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.
Καλώς, είπαν οι κριτικοί. Έστω τώρα το εξής πρόβλημα: Δίνεται ένα pyrex γεμάτο με νερό και ένα ηλεκτρικό μάτι. Ποιος ο βέλτιστος τρόπος για να ζεστάνουμε το νερό;
Οι φυσικοί, συσκέφτηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία και τελικά είπαν: Τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.
Οι μαθηματικοί, με τη σειρά τους, συσκέφτηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία, κατάστρωσαν και λύσανε μερικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του pyrex στον πλαστικό κουβά και το πρόβλημα μας ανάγεται στο προηγούμενο...

3)- Στατιστική είναι η επιστήμη σύμφωνα με την οποία αν βάλεις τα πόδια σου στο φούρνο και το κεφάλι σου στο ψυγείο, κατά μέσο όρο θα είσαι μια χαρά.

4)Ένας επιχειρηματίας, αποφασίζει μια μέρα να διαπιστώσει πόσο έξυπνο είναι το στελεχιακό προσωπικό της επιχείρησης του. Έτσι καλεί με τη σειρά πρώτα το μηχανικό του.
Επιχ/τιας: - "Δε μου λες, πόσο κάνει 1+1;"
Μηχανικός: - "Τι ερώτηση είναι αυτή αφεντικό; Κάνει 2."
Φωνάζει το δικηγόρο του.
Επιχ/τίας: "Δε μου λέτε, πόσο κάνει 1+1;"
Δικηγόρος: "1+1 κάνει 2, εάν ο νόμος δεν ορίζει κάτι διαφορετικό."
Τέλος, φωνάζει και το λογιστή του.
Επιχ/τίας: "Δε μου λέτε, πόσο κάνει 1+1;"
Λογιστής: "Όσο θα θέλατε εσείς αφεντικό."

5) Ερ. : Πόσοι Μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;

Απ. : Κανείς. Αφήνεται στον αναγνώστη σαν άσκηση.-

Ερ. : Πόσοι Αναλύστες χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;

Απ. : 3. Ένας για να αποδείξει την ύπαρξη, ένας την μοναδικότητα και ακόμη ένας για να φτιάξει έναν αλγόριθμο.-

Ερ. : Πόσοι Λογικολόγοι χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα;

Απ. : Κανείς. Δεν μπορούν να την αλλάξουν αλλά μπορούν εύκολα να αποδείξουν οτι μπορεί να γίνει.

6)  Σε ένα τρένο για την Ελβετία συνταξιδεύουν ένας μαθηματικός, ένας θεωρητικός φυσικός και ένας
οικονομολόγος. Σε κάποια στιγμή, ο οικονομολόγος για να πιάσει την κουβέντα στους άλλους
 δύο που είχαν περάσει τις τελευταίες τέσσερις ώρες διαβάζοντας τα πρακτικά του πρόσφατου
συμποσίου για τα μη-Riemannια υπερτετράγωνα και για την παραμόρφωση του
χωροχρονικού συνεχούς γύρω από τον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας αντίστοιχα, κοιτάζει το λιβάδι έξω
από το παράθυρο του τρένου και αναφωνεί βλέποντας ένα μαύρο πρόβατο να βοσκάει ανέμελο: "Κύριοι,
λέγω, τι πρωτότυπο, η Ελβετία έχει μαύρα πρόβατα!"

     Ο φυσικός αφήνει κάτω το περιοδικό, κοιτάζει τον μαθηματικό, του χαμογελάει συγκαταβατικά,
 κοιτάζει τον οικονομολόγο και του λέει: "Μα κύριε μου, αυτό που λέτε είναι τελείως ανακριβές. Θα
 έπρεπε πιο σωστά να πείτε: Η Ελβετία έχει τουλάχιστον ένα μαύρο πρόβατο."

 Ο μαθηματικός αφήνει κάτω και αυτός το περιοδικό του, χαμογελά και στους δύο παρευρισκόμενους
και αρχίζει να μιλάει: "Νομίζω οι κύριοι παρασύρονται. Ορθότερα θα έθετα ότι η Ελβετία έχει ένα
πρόβατο του οποίου τουλάχιστο η μία πλευρά είναι μαύρη."

7)Ένας Μαθηματικός, ένας Φυσικός και ένας Μηχανικός διανυκτερεύουν σ΄ ένα ξενοδοχείο. Ο Μηχανικός κάποια στιγμή ξυπνάει και μυρίζει καπνό. Σηκώνεται πάει στην πόρτα και βλέπει πως υπάρχει φωτιά στον διάδρομο. Τότε παίρνει έναν κουβά που είχε στο δωματιό του για τα σκουπίδια τον γεμίζει νερό, καταβρέχει την φωτιά και επιστρέφει ήσυχος στο δωμάτιό του. Μετά από λίγη ώρα η φωτιά αναζωπυρώνεται.
        Ξυπνάει αυτή τη φορά ο Φυσικός, μυρίζει καπνό, οπότε ανοίγει την πόρτα του δωματίου του και βλέπει τη φωτιά στον διάδρομο. Πλησιάζει με προσοχή, βγάζει το κομπιουτεράκι απ' την τσέπη του και αφού υπολογίσει την ταχύτητα των φλογών, την απόσταση, την πίεση του νερού, την τροχιά κλπ σβήνει την φωτιά με την ελάχιστη ποσότητα νερού και ενέργειας που απαιτείται. Κατόπιν γυρνάει ήσυχος στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο του. Η φωτιά παρολ΄ αυτά αναζωπυρώνεται ξανά.
       Τέλος ξυπνάει ο Μαθηματικός μυρίζεται καπνό και κατευθύνεται στον διάδρομο. Εκεί βλέπει την φωτιά, βλέπει τον πυροσβεστήρα πιο δίπλα οπότε σκέφτεται και λέει "α…. υπάρχει λύση!" γυρνάει στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο.

8)Οι Μαθηματικοί κυνηγάνε ελέφαντες με το να πηγαίνουν στην έρημο, να σκοτώνουν οτιδήποτε δεν είναι ελέφαντας και μετά να παίρνουν αυτό που έμεινε.

Οι έμπειροι Μαθηματικοί πρώτα θα αποδείξουν την ύπαρξη τουλάχιστον ενός μοναδικού ελέφαντα και μετά θα αφήσουν το προηγούμενο βήμα σαν άσκηση.

Οι καθηγητές Μαθηματικοί πρώτα θα αποδείξουν την ύπαρξη τουλάχιστον ενός μοναδικού
ελέφαντα και τα υπόλοιπα θα τα αφήσουν σαν άσκηση στους Μεταπτυχιακούς τους Φοιτητές.

10)Οι Μηχανικοί πιστεύουν ότι οι εξισώσεις τους είναι μια προσέγγιση της πραγματικότητας.

Οι Φυσικοί πιστεύουν ότι η πραγματικότητα είναι μια προσέγγιση των εξισώσεων τους.

Οι Μαθηματικοί δεν ενδιαφέρονται.

Παρασκευή, 28 Σεπτεμβρίου 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ 1

Μαθηματικές μοιχείες

Ένας μαθηματικός στέλνει το παρακάτω γράμμα στην σύζυγό του:

Αγαπητή μου σύζυγε,
όπως ξέρεις είσαι 54 ετών και έχω ανάγκες που δεν μπορείς
να μου καλύψεις. Κατά τα άλλα χαίρομαι που σε έχω σύζυγο.
Ελπίζω να μην σε πειράξει, αλλά την ώρα που θα λάβεις
αυτό το γράμμα εγώ θα είμαι στο χλιδάτο ξενοδοχείο "Όλυμπος"
με την 18-χρονη βοηθό μου. Σπίτι θα έρθω μετά τα μεσάνυκτα.
Ο σύζυγός σου

Πηγαίνοντας στο ξενοδοχείο βρήκε ένα fax:

Αγαπητέ μου σύζυγε,
όπως ξέρεις και εσύ είσαι 54 χρονών και την ώρα που
θα λάβεις αυτό το γράμμα εγώ θα είμαι στο χλιδάτο ξενοδοχείο
"Αστέρια" με τον 18-χρονο νεαρό που καθαρίζει την πισίνα.
Όπως ξέρεις σαν μαθηματικός που είσαι, το 18 μπαίνει
στο 54 πιό πολλές φορές από όσες το 54 στο 18.
Λοιπόν μην με περιμένεις.

 -Ξέρεις, η μαμά μου είναι Μαθηματικός. Είναι πολύ καλή στην "επαγωγή" της συμπεριφοράς:

"Στο είπα μια φορά, στο είπα ν φορές, στο είπα ν+1… εεε! αμάν πια!".
Είναι όλες οι συναρτήσεις μαζεμένες σε ένα δωμάτιο!!!.Η g(x),η ln(x),η cos(x) κτλ.Φωνές,φασαρία,χαμός!Δεν βάζουν γλώσσα μέσα τους!!
Κάποια στιγμή ανοίγει η πόρτα και μπουκάρει μέσα η Παράγωγος!

Παράγωγος - Αν δεν βγάλετε όλες τον σκασμό θα σας γαμ!@#σω!!

Πετάγεται η e^x:

- Μμμ....θα μας κλάσεις τα αρχ!@#δια!!
'Ενας γιατρός, ένας δικηγόρος και ένας μαθηματικός συζητάν για το αν είναι καλύτερο να έχεις γυναίκα ή ερωμένη.

Λέει ο γιατρός: "είναι καλύτερα να έχεις γυναίκα. γιατί έτσι έχεις τη σταθερότητα και την ηρεμία που χρειάζεσαι για να μπορείς να χαλαρώνεις μετά από μια κουραστική μέρα στη δουλειά."

"διαφωνώ," λέει ο δικηγόρος, "καλύτερα είναι να έχεις ερωμένη. γιατί, αν είσαι παντρεμένος και θέλεις να χωρίσεις, η γραφειοκρατία για το διαζύγιο είναι τρομερή."

Και απαντάει ο μαθηματικός (μετά από λίγη ώρα): "είναι καλύτερα να έχεις και γυναίκα και ερωμένη. γιατί όταν η γυναίκα σου νομίζει ότι είσαι με την ερωμένη και η ερωμένη νομίζει ότι είσαι με τη γυναίκα σου, έχεις λίγο ελεύθερο χρόνο να κάνεις μαθηματικά!"

Είναι ένας μαθηματικός ένας φυσικός και ένας φιλόλογος σε ένα δωμάτιο όπου δεν έχει ούτε πόρτες όυτε παράθυρα και γενικότερα κανένα τρόπο για να βγούν.Ποιός θα καταφέρει να βγεί;;;
Λύση:Ο μαθηματικός!
Πώς; --->"Έστω/θέτω πόρτα!" και βγαίνει.
Ο Χριστός απευθύνεται στον Πέτρο
-Πέτρο ;
-Ναι κύριε 
-y=x²
-Tι είναι αυτό κύριε ;
-Παραβολή Πέτρο

Πέμπτη, 27 Σεπτεμβρίου 2012

Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα




Επισκεφθείτε τον ιστότοπο των Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Βοηθημάτων του υπουργείου παιδείας δια βίου μάθησης και θρησκευμάτων.

http://www.study4exams.gr/






Για τα μαθηματικά κατεύθυνσης

http://www.study4exams.gr/math_k/




 Για τα μαθηματικά γενικής παιδείας

                                                           http://www.study4exams.gr/math_g/


Δευτέρα, 24 Σεπτεμβρίου 2012

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
http://www.mathimatikos.edu.gr/EXERCISES/Lykeio/C/typologio/migadikoi.pdf





ΠΟΛΥ ΚΑΛΟ ΚΑΙ ΑΥΤΟ

http://www.scribd.com/doc/106844256/01-Mig-Theoria


ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3


Ο μυστηριώδης και μεγαλοφυής μαθηματικός, κύριος Πέρελμαν








Σύμφωνα με το Science, η λύση από τον Πέρελμαν της Εικασίας του Πουανκαρέ, είναι το σημαντικότερο επίτευγμα του έτους 2006.



Η απόδειξη από τον αινιγματικό Ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory, στην εδώ και εκατό χρόνια άλυτη Εικασία του Πουανκαρέ , προκάλεσε στον επιστημονικό κόσμο τεράστια αίσθηση και όχι μόνο λόγω της δυσκολίας της εργασίας. Τον Αύγουστο του 2006, ο Ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, το υψηλότερο βραβείο στα μαθηματικά.

Αρνήθηκε το βραβείο, ύψους 1.000.000 δολαρίων που του προσφέρθηκε από το αμερικανικό Ίδρυμα Μαθηματικών, επειδή δεν θεωρεί τους κριτές άξιους να κρίνουν τον ίδιο. Ο Perelman λέγεται ότι περιφρονεί την αυτοδιαφήμιση και περιγράφεται ως "ερημίτης", απομονωμένος από την υπόλοιπη μαθηματική κοινότητα.

Κι όπως λέει ένας συνάδελφος του δεν ενδιαφέρεται καθόλου για χρήματα. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα. Μολονότι του πρόσφεραν θέσεις εργασίας σε πολλά κορυφαία πανεπιστήμια των ΗΠΑ, συμπεριλαμβανομένου του Princeton και του Stanford, εκείνοςαπέρριψε όλες τις προτάσεις. Εκτός από μεγαλοφυΐα στα μαθηματικά, η παράξενη αυτή διάνοια, είναι ένας ταλαντούχος βιολονίστας και επίσης ένα ισχυρός παίκτης πινγκ-πονγκ.

Ο Πέρελμαν, γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου του 1966 και φοίτησε σε σχολείο της Αγίας Πετρούπολης με ειδίκευση στα Μαθηματικά και τη Φυσική και σε ηλικία 16 ετών κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1982. Αφότου ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και εργάστηκε για λίγο στη Ρωσία, μετακόμισε στις ΗΠΑ. Πριν από περίπου δέκα χρόνια επέστρεψε στη Ρωσία, για να εργαστεί στην απόδειξή του για το σχήμα του Σύμπαντος. Καταδέχτηκε πάντως να περιγράψει την απόδειξη το 2003 στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον.

Σε μια σπάνια συνέντευξη, ο Perelman είπε στο περιοδικό New Yorker : «Δεν μου είναι ξεκάθαρο ποια ήταν η συμβολή μου σ' αυτό που έκανα.»

Ο Perelman, ζώντας κατ’ επιλογήν του απομονωμένος, άφησε το Ίδρυμα Steklov τον Ιανουάριο, και τελευταία ειπώθηκε πως είναι άνεργος και ζει με τη μητέρα του στο διαμέρισμά της στην Αγία Πετρούπολη. Έχει μία μικρότερη αδελφή, την Έλενα, η οποία είναι επίσης μαθηματικός.

Η εργασία του - σχετικά με την Εικασία που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζυλ Ανρί Πουανκαρέ, σχετικά με τα σχήματα που είναι δυνατόν να έχει το Σύμπαν - έχει δημιουργήσει στον χώρο των Μαθηματικών ενθουσιασμό μεν αλλά και διαμάχες.

Ο Terence Tao, καθηγητής των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες, αποκαλεί το αποτέλεσμα του Perelman σαν το «καλύτερο κομμάτι των μαθηματικών που έχουμε δει τα τελευταία 10 χρόνια».

Ο Timofey Shilkin, συνάδελφος του Perelman στο Ίδρυμα Μαθηματικών Steklov στην Αγία Πετρούπολη, λέει: «Αξίζει σίγουρα το μετάλλιο Fields - αυτή είναι η προσωπική μου άποψη. Είμαι απολύτως βέβαιος ότι είναι μεγαλοφυΐα.» Και πρόσθεσε: «Φοβούμαι ότι είναι ένα άτομο πολύ εσωστρεφές. Ξέρουμε πολύ λίγα πράγματα για τον ίδιο. Ξέρω μόνο ότι είναι άριστος μαθηματικός. Τον συνάντησα όταν ήταν μέλος της ομάδας μας και οι επαφές μας γίνονταν περίπου μια φορά την εβδομάδα, αλλά κάναμε πολύ σύντομες μόνο συζητήσεις».

Για αρκετά χρόνια εργάστηκε, ως επί το πλείστον, μόνο πάνω στην Εικασία του Πουανκαρέ. Όλες οι αποδείξεις που είχαν προταθεί ως σήμερα είχαν αποδειχθεί ψευδείς. Έπειτα από οκτώ χρόνια προσπαθειών, ο Perelman κατέληξε το 2002 σε μια απόδειξη 473 σελίδων στην οποία οι συνάδελφοί του δεν κατάφεραν να εντοπίσουν κανένα λάθος.

Επειδή ο Perelman έχει έρθει σε διάσταση με τους υπόλοιπους μαθηματικούς που ελέγχουν τα περιοδικά, γι’ αυτό και δεν έστειλε την εργασία του προς δημοσίευση σε ένα από τα έγκυρα μαθηματικά περιοδικά. Μια δημοσίευση σε αυτά θα ήταν αδύνατη, αφ’ ενός διότι οι εκδότες δεν θα τη δημοσίευαν, αφ’ ετέρου διότι ο ίδιος δεν ήθελε να καταστήσει κριτές του έργου του, ανθρώπους τους οποίους (υπεροπτικά ίσως) θεωρούσε κατωτέρους του. Οπότε χρησιμοποίησε το Διαδίκτυο και η σημαντική μελέτη του δεν έμεινε άγνωστη.

Μια από τις ελάχιστες φωτογραφίες του Grigory Perelman, 
 της πιθανόν σπουδαιότερης μαθηματικής μεγαλοφυΐας του 20ου αιώνα, 
 
από συνεπιβάτη, που έτυχε να τον αναγνωρίσει στο μετρό της Πετρούπολης.


Μάλιστα δημοσίευσε μόνο τα βασικά σημεία της μελέτης του, χωρίς πλήρη και λεπτομερή απόδειξη. Πήρε 4 χρόνια κοπιαστικής δουλειάς στους υπόλοιπους, να κατανοήσουν και να ασχοληθούν με την απόδειξή του χωρίς να βρουν λάθος.

Η Εικασία Πουανκαρέ είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην τοπολογία, τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν τεντώνονται, διαστρεβλώνονται, ή συρρικνώνονται.

Η επιφάνεια της Γης περιγράφεται ως δισδιάστατη σφαίρα από την τοπολογία. Εάν κάποιος την περικύκλωνε με ένα λάσο, θα μπορούσε να την αναγκάσει να περιοριστεί σε ένα σημείο. Στην επιφάνεια του ντόνατς, εν τούτοις, ένα λάσο που θα περνούσε μέσα από την τρύπα του στο κέντρο, δεν θα μπορούσε να το περιορίσει σε ένα σημείο χωρίς να κοπεί η επιφάνεια.

Για παράδειγμα η Εικασία του Πουανκαρέ καθορίζει ποια στερεά σώματα (ή πολλαπλότητες σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους άνω των τριών διαστάσεων) είναι ισοδύναμα, από τοπολογική άποψη με μια σφαίρα και ποια όχι.

Παραδείγματος χάριν, ένας κύβος από πλαστελίνη είναι ισοδύναμος με σφαίρα, αφού μπορούμε να τον πλάσουμε σαν σφαίρα, ενώ ένα ντόνατς δεν είναι, γιατί έχει μια τρύπα στη μέση.

Φαντασθείτε ότι έχετε ένα λάστιχο, ένα μήλο και ένα ντόνατς με τρύπα στη μέση. Αν τραβήξετε το λάστιχο και το τοποθετήσετε περιμετρικά γύρω από το μήλο, θα μπορείτε να μετακινήσετε το λάστιχο από τον «Ισημερινό» στον «Πόλο» του μήλου, χωρίς να σκίσετε το λάστιχο και χωρίς να εγκαταλείψετε την επιφάνεια του μήλου. Αν, όμως, το λάστιχο τοποθετηθεί πάνω στην επιφάνεια του ντόνατς, τότε δεν υπάρχει τρόπος να μετακινήσουμε το λάστιχο σε όλη την επιφάνεια του ντόνατς, χωρίς να το σκίσουμε ή το ένα ή το άλλο. Ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι κάτι ανάλογο συμβαίνει και στον τετραδιάστατο χώρο, ενώ σύγχρονοι Μαθηματικοί απέδειξαν ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει και σε χώρο περισσοτέρων των τεσσάρων διαστάσεων.

O Πουανκαρέ χαρακτηρίσθηκε ως «Ο Τελευταίος Αναγεννησιακός Άνθρωπος», ένας Μαθηματικός που αισθανόταν άνετα σε κάθε τομέα των Μαθηματικών, όπως στην ανάλυση, την άλγεβρα, την τοπολογία, την αστρονομία και τη θεωρητική φυσική. Ο Γάλλος Μαθηματικός ήταν μεγάλος οραματιστής, που πρώτος εξέφρασε τη βασική αρχή της Θεωρίας του Χάους, ότι δηλαδή «μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες προκαλούν μεγάλες διαφορές στο τελικό αποτέλεσμα».


Έλεγχος της εργασίας

Από το 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί ξέρουν ότι η σφαίρα είναι το μόνο δισδιάστατο αντικείμενο με αυτήν την ιδιότητα, αλλά ήταν αβέβαιοι για τα αντικείμενα με περισσότερες διαστάσεις. Η Εικασία Πουανκαρέ λέει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος περιβαλλόμενος τρισδιάστατος χώρος χωρίς οπές.

Την απόδειξη της Εικασίας την απέφευγαν οι μαθηματικοί έως ότου ταχυδρόμησε ο Perelman την εργασία του στον ιστοχώρο http://arxiv.org/
Ο ιστοχώρος αυτός, είναι ένας κεντρικός υπολογιστής, όπου οι ερευνητές ανεβάζουν τις εργασίες τους ως ηλεκτρονικές προδημοσιεύσεις στους τομείς των μαθηματικών, φυσικής, πληροφορικής, βιολογίας κ.λ.π. προτού τις δημοσιεύσουν σε ένα επιστημονικό περιοδικό.

Πάντως, κατά το περιοδικό Science του 2006 το πρώτο και κυριότερο επίτευγμα εκείνης της χρονιάς είναι η λύση Πέρελμαν. Το περιοδικό την παρουσιάζει πρώτη-πρώτη στη λίστα δέκα άλλων επιτευγμάτων και γράφει:

Πρώτο επίτευγμα:
"Η Εικασία του Πουανκαρέ. Ο απομονωμένος Ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman έλυσε προφανώς το δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

Πείραμα



Πείραμα: Υγρό άζωτο vs 1500 μπαλάκια ping pong [Video]



http://www.youtube.com/watch?v=JJ9yn8vLdig&feature=player_embedded

Ο Δρ Roy Lowry παρουσιάζει στους φοιτητές του Πανεπιστημίου του Plymouth την εκρηκτική δύναμη του υγρού αζώτου καθώς αυτό επιστρέφει στην αέρια του μορφή.
Η δράση ξεκινάει στο 3:00, αν δεν θέλετε να ακούσετε την εξήγηση του φαινομένου.

Πέμπτη, 20 Σεπτεμβρίου 2012

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΥ Α.Ε.Π.Π.

Αγαπητοί συνάδελφοι, μαθητές,
παρά την επίπονη προσπάθεια που καταβλήθηκε κατά τη σύνταξη του βιβλίου μου, ώστε να μην υπάρχουν λάθη, εν τούτοις διαπιστώθηκαν εκ των υστέρων κάποια παροράματα τα οποία έχω συγκεντρώσει σε ένα αρχείο το οποίο μπορείτε να   κατεβάσετε από εδώ.

Αν κατά τη χρήση του βιβλίου, αντιληφθείτε κάποιο λάθος θα χαρώ να επικοινωνήσετε μαζί μου ώστε να το συμπεριλάβω στο αρχείο.

Επίσης θα ήθελα να μου εκφράσετε τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας σχετικά με το βιβλίο.
Με εκτίμηση
Γιώργος Καρκαμάνης

Τρίτη, 18 Σεπτεμβρίου 2012

ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2



Κουρτ Γκέντελ



Ο Κουρτ Γκέντελ (γερμ. Kurt Friedrich Gödel), (28 Απριλίου1906 Μπρνο – 14 Ιανουαρίου, -1978 ΠρίνστονΝέα Ιερσέη) ήτανΑυστρο-αμερικάνος επιστήμονας της λογικήςμαθηματικός και φιλόσοφος. Ένας από τους πιο σημαντικούς επιστήμονες της λογικής όλων των εποχών, ο Γκέντελ είχε τεράστια επιρροή στην επιστημονική και φιλοσοφική σκέψη του 20ου αιώνα, σε μια εποχή όταν πολλοί, όπως οΜπέρτραντ Ράσελ, ο Α. Ν. Γουάιτχεντ, και ο Νταβίντ Χίλμπερτ, πρωτοπορούσαν στη χρήση της λογικής και της θεωρίας συνόλων για την κατανόηση των θεμελίων των μαθηματικών.
Ο Γκέντελ είναι περισσότερο γνωστός για τα δυο του θεωρήματα μη-πληρότητας, δημοσιευμένα το 1931 όταν ήταν 25 χρονών, ένα χρόνο μετά το τέλος του διδακτορικού του στο πανεπιστήμιο της Βιέννης. Το πιο διάσιμο θεώρημα μη-πληρότητας διατυπώνει ότι για κάθε αυτο-συνεπές αναδρομικό αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράφει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (αριθμητική Πεάνο), υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς που δεν μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα. Για να αποδείξει το θεώρημα αυτό, ο Γκέντελ ανέπτυξε μια τεχνική γνωστή ως Γκεντελοποίηση, η οποία κωδικοποιεί τυπικές εκφράσεις ως φυσικούς αριθμούς.
Έδειξε ακόμα ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί από τα δεκτά αξιώματα της θεωρίας συνόλων, αν τα αξιώματα αυτά είναι συνεπή. Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην θεωρία αποδείξεων με το να ξεκαθαρίσει τις σχέσεις μεταξύ κλασσικής λογικής,διαισθητικής λογικής και τροπικής λογικής.

Ζωή 

Παιδική ηλικία 

Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου του 1906 στο Μπρνο, μέλος της (Γερμανικής εθνότητας) οικογένειας του Ρούντολφ Γκέντελ, διευθυντή εργοστασίου υφασμάτων, και της Μαριάν Γκέντελ (γεν. Χαντσουχ). Κατά τη γέννησή του η πόλη είχε μια ελαφρά πλειοψηφία Γερμανόφωνων, και αυτή ήταν και η γλώσσα των γονέων του. Οι πρόγονοι του Κουρτ Γκέντελ ήταν συχνά ενεργοί στην πολιτιστική ζωή του Μπρνο. Για παράδειγμα, ο παππούς του Ιωσήφ Γκέντελ ήταν διάσημος τραγουδιστής της εποχής, και για κάποια χρόνια μέλος της "Brünner Männergesangverein".
Αν και ο ίδιος μιλούσε πολύ λίγα Τσέχικα, ο Γκέντελ έγινε αυτόματα Τσεχοσλοβάκος πολίτης στην ηλικία των 12 ετών, όταν η Αυστροουγγρική αυτοκρατορία διασπάστηκε στο τέλος του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Αργότερα είπε στο βιογράφο του Τζον Ντόσον ότι ένιωθε σαν εξορισμένος Αυστριακός στην Τσεχοσλοβακία ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei") εκείνη την περίοδο. Επέλεξε να γίνει Αυστριακός πολίτης στην ηλικία των 23 ετών. Όταν η Ναζιστική Γερμανία προσάρτησε την Αυστρία, ο Γκέντελ αυτόματα έγινε Γερμανός πολίτης στην ηλικία των 32 ετών. Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, στην ηλικία των 42 ετών, έγινε Αμερικάνος πολίτης.
Στην οικογένειά του, ο νεαρός Κουρτ ήταν γνωστός ως ο Herr Warum ("Κύριος Γιατί") εξ' αιτίας της ακόρεστής του περιέργειας. Σύμφωνα με τον αδελφό του Ρούντολφ, στην ηλικία των έξι ή επτά ετών ο Κουρτ υπέφερε από ρευματικό πυρετό. Επανήλθε τελείως, αλλά για το υπόλοιπο της ζωής του έμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε τραυματιστεί ανεπανόρθωτα.
Ο Γκέντελ παρακολούθησε το Evangelische Volksschule, ένα Λουθηρανικό σχολείο στο Μπρνο από το 1912 έως το 1916, και εγγράφηκε στο Deutsches Staats-Realgymnasiumαπό το 1916 έως το 1924, όπου αρίστευσε με τιμές σε όλα του τα μαθήματα, και ιδιαίτερα στα μαθηματικά, τις γλώσσες και τη θρησκεία. Αν και ο Κουρτ είχε αρχικά αριστεύσει στις γλώσσες, αργότερα ανέπτυξε περισσότερο ενδιαφέρον για την ιστορία και τα μαθηματικά. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά αυξήθηκε όταν το 1920 ο μεγαλύτερος αδελφός του (γεννημένος το 1902) έφυγε για τη Βιέννη για να παρακολουθήσει την ιατρική σχολή του Πανεπιστημίου της Βιέννης (UV). Στην εφηβεία του, ο Κουρτ μελέτησε τη στενογραφίαΓκαμπελσμπέργκερ, το βιβλίο Θεωρία των χρωμάτων του Γκαίτε και κριτικές του Ισαάκ Νιούτον, και τα έργα του Εμμάνουελ Καντ.

Σπουδές στη Βιέννη 

Στην ηλικία των 18, ο Κουρτ συνάντησε τον αδελφό του Ρούντολφ στη Βιέννη, και εγγράφηκε στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Μέχρι τότε, κατείχε ήδη μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου. Αν και αρχικά είχε πρόθεση να μελετήσει θεωρητική φυσική, ο Κουρτ παρακολούθησε επίσης μαθήματα μαθηματικών και φιλοσοφίας. Κατά την περίοδο αυτή, υιοθέτησε ιδέες μαθηματικού ρεαλισμού. Διάβασε τα Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft του Εμμάνουελ Καντ, και συμμετείχε στον Κύκλο της Βιέννης με τον Μόριτζ Σλικ, τον Χανς Χαν, και τον Ρούντολφ Κάρναπ. Έπειτα μελέτησε θεωρία αριθμών, αλλά κατά τη συμμετοχή σε ένα σεμινάριο του Μόριτζ Σλικ που μελετούσε το βιβλίο Εισαγωγή στη Μαθηματική Φιλοσοφία του Μπέρτραντ Ράσελ, του κίνησε το ενδιαφέρον η μαθηματική λογική.
Η παρακολούθηση μιας διάλεξης του Νταβίντ Χίλμπερτ στη Μπολόνια περί της πληρότητας και συνέπειας των μαθηματικών συστημάτων, πιθανώς να έθεσε την πορεία της μετέπειτα ζωής του Γκέντελ. Το 1928, ο Χίλμπερτ και ο Βίλχελμ Άκερμαν δημοσίευσαν το Grundzüge der theoretischen Logik (Αρχές της Μαθηματικής Λογικής), μια εισαγωγή στην λογική πρώτου βαθμού, όπου τέθηκε το πρόβλημα της πληρότητας: Αρκούν τα αξιώματα ενός τυπικού συστήματος για να παραχθούν όλες οι προτάσεις που είναι αληθείς σε όλα τα μοντέλα του συστήματος; Αυτό ήταν το θέμα που επέλεξε ο Γκέντελ για το διδακτορικό του. Το 1929, σε ηλικία 23 ετών, ολοκλήρωση τη διδακτορική του διατριβή, υπό την εποπτεία του Χανς Χαν. Σ' αυτή, ο Γκέντελ απέδειξε την πληρότητα του κατηγορηματικού λογισμού πρώτου βαθμού, αποτέλεσμα που έγινε γνωστό ως το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ. Του απονεμήθηκε ο τίτλος του διδάκτορα το 1930. Η διδακτορική του διατριβή, σε συνδυασμό με κάποιες επιπλέον εργασίες, δημοσιεύθηκε από την Ακαδημία Επιστημών της Βιέννης.

Εργασία στη Βιέννη 

Το 1931, ο Γκέντελ δημοσίευσε τα διάσημά του θεωρήματα μη-πληρότητας, στο "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Περί των Τυπικά Αναποφασιστέων Προτάσεων του ''Principia Mathematica'' και Σχετικών Συστημάτων). Στο άρθρο αυτό, απέδειξε για οποιοδήποτε υπολογίσιμο αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό για να περιγράψει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (δηλαδή τα αξιώματα Πεάνο ή ZFC) ότι:
  1. Αν το σύστημα είναι συνεπές, δεν μπορεί να είναι και πλήρες. Αυτό είναι γενικότερα γνωστό ως το θεώρημα μη-πληρότητας.
  2. Η συνέπεια των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο ίδιο το σύστημα.
Τα θεωρήματα αυτά έφεραν τέλος σε μισό αιώνα προσπαθειών, ξεκινώντας από το έργο του Φρέγκε και με κορύφωση την Principia Mathematica και τη διατύπωση του Χίλμπερτ, για να βρεθεί ένα σύνολο αξιωμάτων, ικανό για όλα τα μαθηματικά. Τα θεωρήματα μη-πληρότητας συνεπάγονται ακόμα και ότι δεν είναι όλες οι μαθηματικές ερωτήσεις δυνατό να απαντηθούν.
Εκ των υστέρων, η βασική ιδέα στο κέντρο του θεωρήματος μη-πληρότητας είναι σχετικά απλή. Ο Γκέντελ βασικά κατασκεύασε μια πρόταση η οποία ισχυρίζεται ότι αυτή η ίδια η πρόταση δεν αποδεικνύεται σε κάποιο δεδομένο τυπικό σύστημα. Αν ήταν δυνατό να αποδειχθεί, τότε η ίδια θα ήταν ψευδής, που έρχεται σε αντίθεση με το ότι στα συνεπή συστήματα οι αποδείξιμες προτάσεις είναι πάντα αληθείς. Έτσι, θα υπάρχει πάντα μια αληθής αλλά μη-αποδείξιμη πρόταση. Δηλαδή, για κάθε υπολογιστικά αριθμήσιμο σύνολο αξιωμάτων για την αριθμητική (σύνολο που μπορεί θεωρητικά να εκτυπωθεί από έναν ιδεατό υπολογιστή με άπειρους πόρους και χρόνο), υπάρχει μια πρόταση που ισχύει πάντα για την αριθμητική, αλλά που δεν αποδεικνύεται μέσα στο σύστημα. Για να το διατυπώσει με ακρίβεια, όμως, ο Γκέντελ έπρεπε να λύσει αρκετά τεχνικά ζητήματα, όπως η κωδικοποίηση προτάσεων, αποδείξεων και της ίδιας της έννοιας της αποδειξιμότητας, με φυσικούς αριθμούς. Το έκανε χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που λέγεται Γκεντελοποίηση.
Στο δισέλιδο άρθρο του "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932) ο Γκέντελ αναίρεσε την ιδιότητα πεπερασμένων τιμών της διαισθητικής λογικής. Στην απόδειξη χρησιμοποίησε έμμεσα αυτό που έγινε αργότερα γνωστό ως ενδιάμεση λογική Γκέντελ-Ντάμετ ή ασαφής λογική του Γκέντελ.

Επισκέψεις στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής

Το 1933, ο Γκέντελ ταξίδεψε για πρώτη φορά στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου συνάντησε τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, με τον οποίο έγινε καλός φίλος. Εκεί έδωσε μια διάλεξη στην ετήσια συνάντηση της Αμερικανική Μαθηματική Εταιρία. Κατά το έτος αυτό ο Γκέντελ ανέπτυξε, επίσης, τις ιδέες του περί υπολογισιμότητας και αναδρομικών συναρτήσεων σε βαθμό ώστε να δώσει μια διάλεξη για τις γενικές αναδρομικές συναρτήσεις και την έννοια της αλήθειας. Η εργασία αυτή αναπτύχθηκε στη θεωρία αριθμών, με χρήση της Γκεντελοποίησης.
Το 1934 ο Γκέντελ έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Πρίνστον, με τίτλο On undecidable propositions of formal mathematical systems (Περί των αναποφασιστέων προτάσεων των τυπικών μαθηματικών συστημάτων). Ο Στέφεν Κλέινι, που είχε μόλις τελειώσει το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, κράτησε σημειώσεις από τις διαλέξεις αυτές, οι οποίες αργότερα δημοσιεύθηκαν.
Ο Γκέντελ θα επισκεπτόταν ξανά το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών το φθινόπωρο του 1935. Το ταξίδι και η σκληρή δουλειά τον είχαν εξουθενώσει, και την επόμενη χρονιά χρειάστηκε να αναρρώσει από κατάθλιψη. Επέστρεψε στη διδασκαλία το 1937. Στην περίοδο αυτή εργάστηκε πάνω στην απόδειξη συνέπειας του αξιώματος επιλογής και τηςυπόθεσης του συνεχούς. Στη συνέχεια έδειξε ότι οι υποθέσεις αυτές δεν μπορούν να διαψευσθούν από το κοινό σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων.
Νυμφεύτηκε την Αντελ Νιμπέρσκυ (γεν. Πόρκετ, 1899-1981), την οποία γνώριζε για πάνω από 10 χρόνια, στις 20 Σεπτεμβρίου του 1938. Η σχέση τους είχε βρει αντίθετους τους γονείς του, λόγω του ότι αυτή ήταν διαζευγμένη χορεύτρια, έξι χρόνια μεγαλύτερή του. Δεν απέκτησαν παιδιά.
Στη συνέχεια, έφυγε για μια ακόμα επίσκεψη στις Ηνωμένες Πολιτείες, περνώντας το φθινόπωρο του 1938 στο Πρίνστον και την άνοιξη του 1939 στο Πανεπιστήμιο της Νοτρ Νταμ.
Ο Γκέντελ και η σύζυγός του Αντελ πέρασαν το καλοκαίρι του 1942 στο Μπλου Χιλ, Μέιν, στο Blue Hill Inn στην κορυφή του κόλπου. Ο Γκέντελ έκανε διακοπές από το Πρίνστον. Παρ' όλα αυτά, το καλοκαίρι αυτό ήταν πολύ παραγωγικό. Χρησιμοποιώντας το Heft 15 (τόμος 15) του ακόμα αδημοσίευτου Arbeitshefte (σημειωματάρια) του Γκέντελ, ο Τζον Ντόσον εικάζει ότι ο Γκέντελ ανακάλυψε μια απόδειξη για την ανεξαρτησία του αξιώματος επιλογής από την πεπερασμένη θεωρία τύπων, μια ασθενή μορφή της θεωρίας συνόλων, όσο ήταν στο Μπλου Χιλ το 1942. Ο στενός φίλος του Γκέντελ, Χάο Ουάνγκ υποστηρίζει την εικασία αυτή, σημειώνοντας ότι τα σημειωματάρια του Γκέντελ από το Μπλου Χιλ περιέχουν την πιο εκτεταμένη εξέταση του προβλήματος.

Πρίνστον

Μετά το Anschluss το 1938, η Αυστρία έγινε μέρος της Ναζιστικής Γερμανίας. Η Γερμανία κατάργησε τον τίτλο του Privatdozent, και ο Γκέντελ αναγκάστηκε να κάνει αίτηση για νέα θέση υπό το νέο καθεστώς. Οι προηγούμενες σχέσεις του με Εβραίους, μέλη του κύκλου της Βιέννης, και ειδικά με τον Χαν, ήταν εις βάρος του. Το Πανεπιστήμιο της Βιέννης απέρριψε την αίτησή του. Η ήδη δυσχερής κατάστασή του χειροτέρεψε όταν ο Γερμανικός στρατός τον βρήκε ικανό προς επιστράτευση. Ο Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος ξεκίνησε το Σεπτέμβριο του 1939. Πριν το τέλος του έτους, ο Γκέντελ και η σύζυγός του άφησαν τη Βιέννη για το Πρίνστον. Για να αποφύγουν τη δυσκολία του να διασχίσουν τον Ατλαντικό, οι Γκέντελ πήραν τον Υπερσιβηρικό Σιδηρόδρομο μέχρι τον Ειρηνικό, απέπλευσαν από την Ιαπωνία φτάνοντας στο Σαν Φρανσίσκο στις 4 Μαρτίου του 1940, και στη συνέχεια διέσχισαν τις Ηνωμένες Πολιτείες με τραίνο μέχρι το Πρίνστον όπου ο Γκέντελ θα αποδέχονταν μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών.
Ο Γκέντελ επέστρεψε στη μαθηματική του εργασία πολύ γρήγορα. Το 1940 δημοσίευσε την εργασία Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory (συνέπεια του αξιώματος επιλογής και της γενικευμένης υπόθεσης του συνεχούς με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων) που έγινε κλασσική για τα σύγχρονα μαθηματικά. Στην εργασία αυτή εισήγαγε το κατασκευάσιμο σύμπαν, ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων στο οποίο τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν από απλούστερα σύνολα. Ο Γκέντελ έδειξε ότι τόσο το αξίωμα επιλογής όσο και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι αληθή στο κατασκευάσιμο σύμπαν, και επομένως πρέπει να είναι συνεπή με τα αξιώματα Ζερμένο-Φράνκελ για τη θεωρία συνόλων. Ο Πωλ Κοέν αργότερα κατασκεύασε ένα μοντέλο της ZF-συνολοθεωρίας στο οποίο το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ψευδή, οι αποδείξεις αυτές μαζί σημαίνουν ότι το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητα από τα αξιώματα ZF για τη θεωρία συνόλων.
Το 1951, ο Γκέντελ απέδειξε την ύπαρξη παράδοξων λύσεων για τις εξισώσεις πεδίων του Άλμπερτ Αϊνστάιν στη Γενική σχετικότητα. Έδωσε αυτή την εκπόνηση στον Αϊνστάιν ως δώρο για τα εβδομηκοστά του γενέθλια. Αυτά τα «περιστρεφόμενα σύμπαντα» θα επέτρεπαν το ταξίδι στο χρόνο, και έκαναν τον Αϊνστάιν να έχει αμφιβολίες για τη θεωρία του. Οι λύσεις αυτές έγιναν γνωστές ως η μετρική Γκέντελ.
Στα πολλά χρόνια που έμεινε στο Ινστιτούτο, τα ενδιαφέροντα του Γκέντελ στράφηκαν στη φιλοσοφία και τη φυσική. Μελέτησε και θάυμαζε το έργο του Λάιμπνιτς, αλλά έφτασε να πιστεύει ότι μια εχθρική συνωμοσία κατόρθωσε να καταστείλλει κάποια από τα έργα του Λάιμπνιτς. Σε μικρότερο βαθμό, μελέτησε τον Καντ και τον Έντμουντ Χάσσερλ. Στην αρχή της δεκαετίας του 1970, ο Γκέντελ κυκλοφόρησε ανάμεσα σε φίλους του μια εκπόνηση της παραλλαγής του Λάιμπνιτς για την οντολογική απόδειξη του Άνσελμου του Καντερμπέριγια την ύπαρξη του Θεού. Αυτό είναι σήμερα γνωστό ως η οντολογική απόδειξη του Γκέντελ.
Ο Γκέντελ έγινε μόνιμο μέλος του Ινστιτούτου Προχωρημένων Σπουδών το 1946. Τότε περίπου σταμάτησε να δημοσιεύει, αν και συνέχισε να εργάζεται. Έγινε ομότιμος καθηγητής στο Ινστιτούτο το 1953 και επίτημος καθηγητής το 1976. Του απονεμήθηκε (μαζί με τον Τζούλιαν Σβίνγκερ) το πρώτο Βραβείο Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1951, και επίσης το Εθνικό Μετάλλιο Επιστημών το 1974.
Θάνατος
Προς το τέλος της ζωής του, ο Γκέντελ υπέφερε κατά περιόδους από ψυχικές διαταραχές και ασθένεια. Είχε έμμονους φόβους δηλητηρίασης, δεν έτρωγε παρά μόνο αφού η σύζυγός του Άντελ δοκίμαζε το φαγητό του. Στο τέλος του 1977 η Άντελ νοσηλεύθηκε σε νοσοκομείο για έξη μήνες, και δεν μπορούσε να δοκιμάζει πλέον το φαγητό του Γκέντελ. Κατά την απουσία της αρνήθηκε να φάει και, τελικά, πέθανε από ασιτία. Ζύγιζε περίπου 30 κιλά όταν πέθανε. Το πιστοποιητικό θανάτου του ανέφερε ότι πέθανε από «υποσιτισμό και εξάντληση που προκλήθηκε από διαταραχή προσωπικότητας» στο Νοσοκομείο του Πρίνστον στις 14 Ιανουαρίου του 1978.

Κληρονομιά

Η Συντροφιά Κουρτ Γκέντελ, που ιδρύθηκε το 1987, ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του. Είναι μια διεθνής οργάνωση για την προώθηση της έρευνας στα πεδία της λογικής, της φιλοσοφίας και της ιστορίας των μαθηματικών.

Θρησκευτικές απόψεις

Ο Γκέντελ ήταν πεπεισμένος θεϊστής και ισόβια Χριστιανός. Απέρριπτε την έννοια ότι ο Θεός ήταν απρόσωπος, όπως πίστευε ο Αϊνστάιν. Πίστευε ακράδαντα στην μετά θάνατον ζωή, λέγοντας: "Πιστεύω στην μετά θάνατον ζωή, ασχέτως θεολογίας. Άν ο κόσμος ήταν λογικά κατασκευασμένος, θα πρέπει να υπάρχει ζωή μετά το θάνατο."

Η φιλία του Γκέντελ με τον Αϊνστάιν 


Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν και ο Γκέντελ είχαν θρυλική φιλία, και έκαναν μαζί περιπάτους από και προς το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών. Η φύση των συνομιλιών τους αποτελούσε μυστήριο για τα άλλα μέλη του Ινστιτούτου. Ο οικονομολόγος Όσκαρ Μόργκενστερν εξιστορεί ότι προς το τέλος της ζωής του ο Αϊνστάιν εξομολογήθηκε ότι η ίδια του η δουλειά δεν ήταν πια πολύ σημαντική, ότι ερχόταν στο Ινστιτούτο απλά... για να έχει το προνόμιο να περπατάει μέχρι το σπίτι με το Γκέντελ.
Στις 5 Δεκεμβρίου του 1947, οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν συνόδευσαν το Γκέντελ στις εξετάσεις του για την αμερικανική πολιτογράφηση, όπου παραστάθηκαν ως μάρτυρες. Ο Γκέντελ τους είχε εξομολογηθεί ότι είχε ανακαλύψει μια ασυνέπεια στο σύνταγμα των Ηνωμένων Πολιτειών, που θα μπορούσε να επιτρέψει οι Ηνωμένες Πολιτείες να γίνουν δικτατορία. Οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν ανησυχούσαν ότι η απρόβλεπτη συμπεριφορά του φίλου τους θα μπορούσε να θέσει σε κίνδυνο την πολιτογράφησή του. Ευτυχώς, δικαστής ήταν ο Φίλιπ Φόρμαν. Ο Φόρμαν γνώριζε τον Αϊνστάιν και ήταν αυτός που είχε επιβλέψει τον όρκο στην ορκωμοσία πολιτογράφησης του Αϊνστάιν. Όλα πήγαιναν καλά μέχρι που ο Φόρμαν έτυχε να ρωτήσει τον Γκέντελ αν θεωρούσε ότι μια δικτατορία όπως το Ναζιστικό καθεστώς θα μπορούσε να συμβεί στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο Γκέντελ τότε ξεκίνησε να εξηγεί την ανακάλυψή του στο Φόρμαν. Ο Φόρμαν κατάλαβε τι συνέβαινε, διέκοψε τον Γκέντελ και συνέχισε την ακροαματική διαδικασία με άλλες ερωτήσεις και ένα συμπέρασμα ρουτίνας.

Σημαντικότερες Δημοσιεύσεις

Στα Γερμανικά:
  • 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.
  • 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.
Στα Αγγλικά:
  • 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
  • 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964).Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.
Σε Αγγλική μετάφραση: