-t

Δευτέρα, 16 Ιανουαρίου 2017

Η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο ...

Η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο ...



Όταν ήμουν μαθητής ρώτησα τον καθηγητή των μαθηματικών πως υπολογίζεται το





 α i


όπου α ένας πραγματικός αριθμός και i η μονάδα των φανταστικών αριθμών
ή “ακόμα χειρότερα” το



i i


Με ειλικρίνεια μου απάντησε πως δεν το γνωρίζει αλλά θα το ψάξει για να μου δώσει απάντηση την επόμενη ημέρα. Πράγματι την επομένη μου ανακοίνωσε ότι ψάχνοντας στα πανεπιστημιακά του βιβλία – τότε δεν υπήρχε internet! – το μόνο που βρήκε ήταν η εξίσωση





όπου e η βάση των νεπέριων λογαρίθμων, ο αριθμός e=2,718281828…που μεταξύ άλλων είναι και το όριο της ακολουθίας





όταν το ν τείνει στο άπειρο.





Θέτοντας  x=π=3,14…παίρνουμε





ή





Στην παραπάνω εξίσωση περιέχεται η μονάδα των πραγματικών αριθμών, ημονάδα των φανταστικών αριθμών, το μηδέν, ο αριθμός π και οαριθμός e και γι’ αυτό θεωρείται ως η πιο όμορφη εξίσωση του κόσμου!


Τελικά η “γενική μορφή” της ομορφότερης εξίσωσης του κόσμου έλυσε όλες τις απορίες. Όσον αφορά το α i θα μπορούσε να γραφεί ως
Όμως από που κι ως που ισχύει η εξίσωση;





Για έναν μαθητή λυκείου φαίνεται ακατανόητη … αλλά γίνεται αμέσως κατανοητή διαμέσου των δυναμοσειρών, χρησιμοποιώντας τα παρακάτω αναπτύγματα
Τώρα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε και το i i





Το lni γράφεται
Οπότε:





και





Για κ=0 προκύπτει





i i = 0,207879…



Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε τα παραπάνω χρησιμοποιώντας τον ιστότοπο www.wolframalpha.com.


Γράφοντας απλά i i παίρνουμε το παρακάτω αποτέλεσμα






Ο “δεύτερος τρόπος”
Στα μαθηματικά υπάρχει πάντα και ο “δεύτερος” πιο απλός τρόπος!
Έτσι, για να υπολογίσουμε το i i , εργαζόμαστε ως εξής – ξεκινώντας από την πιο όμορφη εξίσωση του κόσμου:
Υψώνουμε και τα δυο μέλη της τελευταίας εξίσωσης στη i





και πολύ απλά προκύπτει ότι




……………………………………………………………………………………………………….
(update 14-8-11)
Προχτές έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο “Φανταστικές ιστορίες, οι περιπέτειες της τετραγωνικής ρίζας του μείον 1″, του Paul J. Nahin, εκδόσεις κάτοπτρο.
Ιδού λοιπόν μερικά ιστορικά στοιχεία που περιέχονται στο εκπληκτικό αυτό βιβλίο, σχετικά με τον υπολογισμό του ii:
Πολύ πριν το 1748, δηλαδή πολύ πριν ο Εuler διατυπώσει την ισότητα



e±ix = cosx ± isinx


o υπολογισμός του ii είχε ήδη πραγματοποιηθεί με τη χρήση άλλων εξειδικευμένων και εξαιρετικά ευφυών μεθόδων. Έναν τέτοιο υπολογισμό αναφέρει και ο ίδιος ο Euler σε επιστολή του (με ημερομηνία 10 Δεκεμβρίου 1728) προς τον Jean Bernoulli. Με σύγχρονη ορολογία θα λέγαμε ότι ο Bernoulli θεώρησε τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 1, δηλαδή τον κύκλο με εξίσωση



x2 + y2 = 1,


και στη συνέχεια σχημάτισε το ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό του εμβαδού του πρώτου τεταρτημορίου του κύκλου. Πρόκειται για ένα κλασικό πλέον πρόβλημα που απαντά σε εισαγωγικά μαθήματα απειροστικού λογιμσμού. Αν συμβολίσουμε το εμβαδόν με Α (γνωρίσουμε βέβαια ότι ισούται με π/4), θα έχουμε





Κάνουμε τώρα την αλλαγή μεταβλητής, u = ix.
Άρα x = -iu και, συνεπώς, dx = -idu.
Επομένως,
Το τελευταίο είναι γνωστό ολοκλήρωμα και περιέχεται, λόγου χάρη, σε τυπολόγια ολοκληρωμάτων. Συγκεκριμένα, βρίσκουμε:
Συνεπώς,



iln(i)=-π/2


όθεν προκύπτει άμεσα ότι, όπως πριν



ii=e-π/2


μολονότι ούτε ο Bernoulli ούτε ο Euler επιχείρησαν αυτό το τελευταίο βήμα.
Αυτός ο ημιτελής υπολογισμός του ii δεν είναι ο πρώτος στην ιστορία. Το 1719, ο Ιταλός Giulio Carlo dei Toschi Fagnano (1682 – 1766) μελετώντας τον κύκλο έκανε έναν υπολογισμό παρόμοιο με εκείνον του Bernoulli. Μόνο που ο Fagnano εργάστηκε στην περίμετρο και όχι στο εμβαδόν του κύκλου. Γόνος μιας οικογένειας ευγενών η οποία ανέδειξε και έναν πάπα, ο Fagnano χρίστηκε κόμης το 1721 από τον Λουδοβίκο ΙΕ’ και στη συνέχεια, το 1745, αναγορεύτηκε μαρκήσιος από τον πάπα Βεβέδικτο ΙΔ’. Υπήρξε μέλος τόσο της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου όσο και της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου, και έχαιρε εξαιρετικής φήμης σε όλη την Ευρώπη ως ιδιαίτερα δημιουργικός μαθηματικός.
O Fargano ξεκίνησε από τον μοναδιαίο κύκλο, παρατηρώνατς ότι το μήκος L ενός τόξου με επίκεντρη γωνία θ ισούται απλώς με θ





Στη συνέχεια επεξεργάστηκε αυτό το εξαιρετικά απλό ολοκλήρωμα, κάνοντάς το να μοιάζει πιο περίπλοκο … καταλήγοντας μετά από απλούς, αλλά ευφυείς υπολογισμούς στο ίδιο αποτέλεσμα με τον Bernoulli



iln(i)=-π/2


χωρίς να κάνει κι αυτός το τελευταίο βήμα που οδηγεί στο



ii=e-π/2


………………………………………….
Το 1921 ο Horace Scudder Uhler (1872 – 1956), φυσικός του Πανεπιστημίου Yale, δημοσίευσε την τιμή του ii με ακρίβεια μεγαλύτερη των πενήντα δεκαδικών ψηφίων. Ο καθηγητής Uhler δεν ασχολούνταν ερασιτεχνικά με τους υπολογισμούς. Οι υπολογισμοί ήταν το μεγάλο του πάθος της ζωής του. το 1947, για παράδειγμα, ενδιαφέρθηκε για τον μεγαλύτερο δυνατό δεκαδικό αριθμό που μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας μόνο τρία 9. Πρόκειται για τον 999, και γνωρίζουμε ότι έχει 369693100 ψηφία. Υπολόγισε το λογάριθμο αυτού του «τέρατος» με ακτίβεια 250 δεκαδικών ψηφίων. Γιατί; Ισχυριζόταν ότι οι εν λόγω υπολογισμοί τον χαλαρώνουν, και νομίζω ότι πρέπει να τον πιστέψουμε…….

Πηγή  physicsgg.me  

Τρίτη, 3 Ιανουαρίου 2017

Διδάσκοντας Μαθηματικά σε μαθητές με δυσλεξία

Διδάσκοντας Μαθηματικά σε μαθητές με δυσλεξία

Διδάσκοντας Μαθηματικά σε μαθητές με δυσλεξία

Οι περισσότεροι άνθρωποι θεωρούν τα Μαθηματικά ένα πολύ δύσκολο γνωστικό πεδίο καθώς θεωρείται εύκολο να κάνει κανείς λάθος ενώ τα χρησιμοποιεί, όπως αναφέρει ο Αγαλιώτης (2013), αλλά παράλληλα είναι εύκολο για τους άλλους να διαπιστώσουν το λάθος. ΣταΜαθηματικά είναι εύκολο να κάνει κάποιος λάθος γιατί το γνωστικό αυτό πεδίο είναι ένα σύνθετο σύστημα αναπαράστασης σχέσεων, ιδεών, κανόνων το οποίο συνάμα ενσωματώνει σύμβολα, ειδική ορολογία, αφηρημένες έννοιες. Ακόμη, τα Μαθηματικά ενώ παράχθηκαν μέσα από την ανθρωπιστική συλλογιστική έχουν ταυτόχρονα αποκτήσει μια αυτονομία.
Η εκμάθηση των Μαθηματικών προϋποθέτει την κατανόηση (χρηστική κατανόηση και εννοιολογική κατανόηση) της χρήσης των ασκήσεων, τη λογική διαδικασία (από την απομνημόνευση μέχρι τη λειτουργική τους χρήση)και την επεξεργασία. Αυτές οι δεξιότητες είναι σημαντικές. Η έρευνα ανέδειξε ότι η εννοιολογική κατανόηση (η γνώση του τι κάνω και γιατί το κάνω) προσφέρει περισσότερες ευκαιρίες προσαρμογής ενώ διατηρείται πιο εύκολα στη μνήμη. Ακόμη παρακινεί τον μαθητή στο να θέλει να μάθει. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια πως πρέπει να αποφεύγεται η χρηστική κατανόηση. Αν στον μαθητή εξηγήσει ο εκπαιδευτικός εννοιολογικά τι έπραξε εκτελεστικά, αυτό θα επενεργήσει θετικά στην κατανόηση του γνωστικού πεδίου.
Ακόμη όσον αφορά την χρήση των Μαθηματικών εννοιών είναι προτιμότερο ο μαθητής να κληθεί να τις κατασκευάσει παρά να τις αποστηθίσει. Η μεγαλύτερη όμως δυσκολία στη διδασκαλία Μαθηματικών έρχεται όταν ο εκπαιδευτικός καλείται να διδάξει το δύσκολο αυτό μάθημα σε μαθητές που έχουν μαθησιακές δυσκολίες. Στο παρόν άρθρο θα αναφερθούν κάποιες απόψεις ερευνητών που αφορούν την διδασκαλία των Μαθηματικών σε μαθητές που έχουν ΔυσλεξίαΟι Δυσλεκτικοί μαθητές χρειάζεται να εμπλέκονται ενεργά στην μαθησιακή διαδικασία, να διδάσκονται με ευέλικτο τρόπο, να παρέχεται άμεση ανατροφοδότηση, να ακολουθείται αναπαραστασιακός τρόπος εκμάθησης, να υπάρχει ευνοϊκό κλίμα και κατάλληλες ψυχοκοινωνικές συνθήκες, να παρέχεται έξτρα χρόνος σε διαγωνίσματα, να επεξηγούνται δύσκολες Μαθηματικές έννοιες.
Η επίλυση λεκτικών προβλημάτων αποτελεί μια ιδιαίτερα δύσκολη περιοχή για τους Δυσλεκτικούς μαθητές, καθότι οι μαθητές με δυσλεξία αδυνατούν να κατανοήσουν δομές και σχέσεις μέσω του γλωσσικού κώδικα. Άρα ο εκπαιδευτικός καλείται να ενισχύσει την ικανότητα αποκωδικοποίησης των μαθηματικών εννοιών του μαθητή. Πώς θα το κάνει αυτό;
Αν ο εκπαιδευτικός υιοθετήσει μια στρατηγική επίλυσης προβλημάτων όπου ο μαθητής να καλείται να καταγράψει τις δυσνόητες έννοιες ούτως ώστε αυτές να μπορούν να τύχουν επεξήγησης από τον εκπαιδευτικό τότε η επίλυση του προβλήματος θα διευκολυνθεί. Ακόμη τα ασαφή σημεία των προβλημάτων να προσδιοριστούν εικονιστικά, να προσδιοριστούν τα ζητούμενα με φωσφορούχο μαρκαδόρο, να επιλεγούν οι αναγκαίες προς επίλυση πράξεις, να γραφεί από τον μαθητή η συλλογιστική επίλυσης του προβλήματος (προκειμένου να διαπιστωθεί ευκολότερα από τον εκπαιδευτικό που ακολουθήθηκε λανθασμένη τακτική επίλυσης από τον μαθητή), να εκτελεσθούν οι πράξεις με την χρήση αριθμομηχανής, να συσχετιστεί το αποτέλεσμα με την ερώτηση του προβλήματος, να ελεγχθεί η λογικότητα της απάντησης. Η χρήση εικόνων στα Μαθηματικά προβλήματα επίλυσης είναι πολύ βοηθητική όπως και η σύνδεση του προβλήματος με τη ζωή, π.χ η βιβλιοθήκη του δωματίου σου πόσα ράφια έχει; πώς θα μπορούσες να τοποθετήσεις τα βιβλία αυτά στα ράφια της βιβλιοθήκης σου ώστε κάθε ράφι να έχει τον ίδιο αριθμό βιβλίων; Με βάση την εικόνα (βιβλιοθήκη) δείξε μου πως θα τοποθετούσες τα βιβλία αυτά στα ράφια της βιβλιοθήκης της τάξης μας. Η προσπάθεια για βελτίωση της ικανότητας των μαθητών με δυσλεξία στην εκτέλεση των πράξεων θα μπορούσε να στηριχθεί στο γεγονός ότι οι Δυσλεκτικοί μαθητές έχουν καλά ανεπτυγμένη τη λογική ικανότητα. Είναι βοηθητικό να εξηγείται με σαφήνεια το νόημα των πράξεων. Έχει ιδιαίτερη σημασία για τον δυσλεξικό μαθητή να ακούει ο ίδιος την φωνή του καθότι αυτό διευκόλυνε την κωδικοποίηση της γνώσης. Ο δυσλεκτικός μαθητής μπορεί να παρακινείται στο να αναφέρει δικά του πραγματικά παραδείγματα για να φανεί αν κατανόησε την ύλη καθώς και να αναπαριστά το μαθηματικό πρόβλημα με διαδραστικό τρόπο.
Η αποτελεσματική διδασκαλία στηρίζεται στην ενεργή εμπλοκή του μαθητή στη μαθησιακή διαδικασία αλλά και στην παρακίνηση του να γοητευτεί από το γνωστικό αντικείμενο προκειμένου να το αγαπήσει. Μαθαίνουμε καλύτερα ό,τι αγαπάμε!
Πηγή: www.infokids.com.cy