ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΓΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ !

Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΛΛΙΩΣ  . . . 

Ο πολλαπλασιασμός (συχνά συμβολίζεται με το εγκάρσιο σύμβολο "×") είναι η μαθηματική πράξη της κλιμάκωσης ενός αριθμού από έναν άλλο. Είναι μία από τις τέσσερις βασικές πράξεις στη στοιχειώδη αριθμητική (οι άλλες είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση και η διαίρεση).

Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα πίνακα πολλαπλασιασμού απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του αρχαίου Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού αλγορίθμου, δεν τον απαιτεί.

Πολλαπλασιάζοντας "με το χέρι" αριθμούς, με περισσότερα από ένα ζεύγη δεκαδικών ψηφίων, είναι κουραστικό και επιρρεπές σε λάθη. Οι κοινοί λογάριθμοι εφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο λογαριθμικός κανόνας επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με ακρίβεια περίπου τριών δεκαδικών ψηφίων. Στις αρχές του εικοστού αιώνα, υπολογιστικές μηχανές, όπως η Marchant Calculator, καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφίων. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό "με το χέρι".

Ιστορικοί αλγόριθμοι

Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν από πολλούς αρχαίους πολιτισμούς, όπως ο Αιγυπτιακός, ο Ελληνικός, ο Ινδικός και ο Κινεζικός.

Το οστό Ishango, που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ, παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού κατά την Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική.

Αιγύπτιοι

Κύριο λήμμα: Αρχαίος Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός

Η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού των ακεραίων και των κλασμάτων, που τεκμηριώνεται στον Πάπυρο του Αχμόζη (Ahmes Papyrus), ήταν με διαδοχικές προσθήκες και διπλασιασμό. Για παράδειγμα, για να βρει το γινόμενο του 13 και 21 κάποιος έπρεπε να διπλασιάσει το 21 τρεις φορές, κάνοντας δηλαδή 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. Το πλήρες γινόμενο στη συνέχεια θα μπορούσε να βρεθεί με την προσθήκη των κατάλληλων όρων που βρέθηκαν στην αλληλουχία διπλασιασμού:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273

Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα εξηνταδικό (sexagesimal) μεταθετικό αριθμητικό σύστημα, ανάλογο με τη σύγχρονη εποχή δεκαδικό σύστημα. Έτσι, ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν κατά πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί εφήυραν τους πολλαπλασιαστικούς πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού ν (π.χ. ν, 2ν, ..., 20ν), ακολουθούμενοι από τα πολλαπλάσιά του 10ν (π.χ. 30ν 40ν, και 50ν). Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε εξηνταδικό γινόμενο, π.χ. 53ν, χρειάζεται μόνο να προσθέσεις το 50ν και το 3ν που είναι υπολογισμένα στον πίνακα.

Κινέζοι

Στο μαθηματικό κείμενο Zhou Bi Suan Jing, που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα Εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη, πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον Ολοκληρωτικό λογισμό που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθη στις αραβικές χώρες από τον Al Khwarizmi κατά τις αρχές του 9ου αιώνα.

Σύγχρονη μέθοδος

Η σύγχρονη μέθοδος του πολλαπλασιασμού με βάση το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα αρίθμησης περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta. Ο Brahmagupta έδωσε κανόνες για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο Henry Burchard Fine, μετέπειτα καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνσετον, έγραψε τα ακόλουθα:

Οι Ινδοί είναι οι εφευρέτες όχι μόνο του μεταθετικού δεκαδικού συστήματος, αλλά και των περισσότερων δαδικασιών που αφορούν τον κύριο υπολογισμό του συστήματος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση που εκτέλεσαν είναι παρόμοιες με αυτές που εκτελούνται στις μέρες μας. Ο πολλαπλασιασμός επηρέασε πολλούς τρόπους, μεταξύ αυτών και τον δικό μας, αλλά η διαίρεση τους ήταν πολύ περίπλοκη. PIIIIIIIIIIIIIIIII

Πολλαπλασιασμοί για κάθε ..γούστο!!!

Δείτε έναν εντυπωσιακό τρόπο υπολογισμού του γινομένου οποιουδήποτε πολλαπλασιασμού.

Η Τεχνική προέρχεται από την Ιαπωνία και είναι πολύ απλή. Μετατρέπουν τους αριθμούς σε γραμμές και μετρούν τα σημεία τομής. Και με έναν απίθανο τρόπο προκύπτει το τελικό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού

H πράξη του πολλαπλασιασμού  σε διάφορες κουλτούρες . 

 Πολλαπλασιασμός αλά Ρωσικά

 Τον χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι χωρικοί πριν από 200 χρόνια, τώρα τον χρησιμοποιούν οι προγραμματιστές  στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους  αριθμούς 25 και 42 .Γράφουμε τους δυο αριθμούς σε δυο στήλες .Επιλέγουμε  μια στήλη ας πούμε την αριστερή και διαιρούμε διαδοχικά τον αριθμό δια του 2 αψηφώντας το υπόλοιπο ,ωσότου να φτάσουμε στην μονάδα. Στην δεξιά στήλη διπλασιάζουμε διαδοχικώς τις ποσότητες έτσι ώστε οι αριθμοί στις δυο στήλες  να σχηματίζουν γραμμές.

    25    42

   12     84

    6      168

    3      336

    1       672

Υπογραμμίζουμε  τους αριθμούς της αριστερής στήλης που είναι περιττοί.

   25       42

   12       84

    6      168

    3      336

    1      672

 Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς της δεύτερης στήλης   που βρίσκονται δίπλα σε υπογραμμισμένο αριθμό.

42+336+672=1050.Ο αριθμός 1050  είναι το ζητούμενο γινόμενο

  

Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός

 Στον πάπυρο Ρίντ, την πλουσιότερη πηγή που διαθέτουμε  για τα αιγυπτιακά μαθηματικά  υπάρχει σαφής αναφορά για τον τρόπο  με τον οποίο πολλαπλασίαζαν οι  αρχαίοι Αιγύπτιοι. Έστω ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς 31x42 , σύμφωνα με τους αρχαίους Αιγύπτιους γράφουμε  την μονάδα σε μια στήλη και σε μια άλλη, διπλανή στήλη τον ένα από τους δυο παράγοντες του πολλαπλασιασμού .Κατόπιν χωρίζουμε τις δυο στήλες με καθετή γραμμή.

Δηλαδή:

                                    1       31

   Στην συνέχεια διπλασιάζουμε διαδοχικά  τους δυο αριθμούς, μέχρις  ότου ο μικρότερος αριθμός (αυτός δηλαδή από την στήλη που ξεκινά με την μονάδα) να είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο παράγοντα ( το 42 δηλαδή)

                                    1         31

                                    2          62

                                    4        124

                                    8        248

                                    16       496

                                    32        992

                                    64      1984

Στην αριστερή στήλη, και από  κάτω προς τα πάνω, αθροίζουμε τους πρώτους αριθμούς που το άθροισμα τους να είναι 42 (στο παράδειγμα 32+8+2).Ακολούθως, αθροίζουμε όλους τους αριθμούς της δεξιάς στήλης  που βρίσκονταν στην ιδία γραμμή με τους προηγούμενους αριθμούς .Στην περίπτωση μας  θα ήταν:62+992+248=1302, που όντως είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού 31x42.

Αραβικός πολλαπλασιασμός

Οι άραβες  έκαναν διαφορετικά τον πολλαπλασιασμό. Δειτε:

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 349 x37 .

Τοποθετούμε τους αριθμούς  349,37 στον παρακάτω πίνακα  ως εξής:

                  

Τοποθετούμε τους δυο όρους του γινομένου (349,37) τον έναν οριζόντια και τον άλλο κάθετα στον παραπάνω πίνακα .Χωρίζουμε με μια διαγώνια γραμμή τα έξι κελιά που ορίζουν οι όροι του γινομένου. Πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο του οριζοντίου όρου(349) με  κάθε ψηφίο του κάθετου όρου(37). Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός  που  θα καταχωρηθεί στο αντίστοιχο κελί ανά ψηφίο στα δυο μέρη του αντίστοιχου κελιού. (Δείτε το σχήμα)

Αφού συμπληρωθεί ο πίνακας αθροίζουμε διαγώνια .(στο σχήμα τα διαγώνια αθροίσματα έχουν διαφορετικά χρώματα)

                   

Άρα τελικά 349x37=12913.

32o Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας 97 Χρόνια Ε.Μ.Ε. ( videos and photos )

32o Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας

Η Δύναμη των Μαθηματικών κινητήριος μοχλός της επιστημονικής έρευνας και της εξελικτικής πορείας του πολιτισμού μας.

Οι θεματικοί άξονες που θα αναπτυχθούν είναι :

• Η ταυτότητα των μαθηματικών και η πορεία της μαθηματικής επιστήμης.

• Σχέση των μαθηματικών με τις άλλες επιστήμες, (Ιατρική, Βιολογία, Οικονομία, Φυσική, Τεχνολογία, …).

• Τα μαθηματικά στην Τέχνη και τον Πολιτισμό.

• Ο μετασχηματισμός της μαθηματικής γνώσης σε σχολική –πανεπιστημιακή γνώση και η συμβολή των μαθηματικών της εκπαίδευσης στην ανάπτυξη  και στον εκσυγχρονισμό της κοινωνίας.

Με τη συμμετοχή περισσοτέρων από 500 συνέδρων πραγματοποιήθηκε το 32^ο Μαθηματικό Συνεδρίου στην Καστοριά.

Εκατοντάδες μαθηματικοί, σημαντικοί πανεπιστημιακοί που έχουν διακριθεί με το έργο τους σε πανεπιστήμια της χώρας και του εξωτερικού, εκπαιδευτικοί από τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση όλης της χώρας και της Κύπρου, βρέθηκαν στην Καστοριά, στο πλαίσιο του 32ου μαθηματικού συνεδρίου που διοργανώσε η ελληνική μαθηματική εταιρεία – ΕΜΕ.

Στόχος του τριήμερου επιστημονικού συνεδρίου, ήταν η ανάδειξη των μαθηματικών στην επιστημονική έρευνα, στην εκπαίδευση και στην κοινωνία.

Κεντρικοί ομιλητές στο συνέδριο, οι καθηγητές του Αριστοτέλειου παν/μιου Θεσσαλονίκης Γιάννης Αντωνίου,Γιώργος Τσακλίδης και Σταύρος Αυγολούπης, και οι Γρηγόρης Καλογερόπουλος, καθηγητής παν/μιου Αθήνας, και Γεράσιμος Αθανασούλης, καθηγητής ΕΜΠ.

Στη διάρκεια των εργασιών πραγματοποιήθηκαν δύο θεματικά συμπόσια με τίτλους, «τα μαθηματικά και οι εφαρμογές τους στις άλλες επιστήμες και στην ανάπτυξη» και «τα μαθηματικά της εκπαίδευσης, τα αναλυτικά προγράμματα και η κοινωνική διάσταση».

Στο συνέδριο θα παρουσιάστηκαν 102 πρωτότυπες, καινοτόμες εργασίες στον τομέα των μαθηματικών, μεταφέρθηκε η διεθνής και ειδικά η ευρωπαϊκή εμπειρία στις μεθόδους διδασκαλίας των μαθηματικών, με τη χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας.

Το 32 συνέδριο της Ε.Μ.Ε στην Καστοριά ήταν αφιερωμένο στον Σερραίο καθηγητή Λεωνίδα Θαρραλίδη 

Στον αγαπητό καθηγητή, τόσο από συναδέλφους όσο και από μαθητές, Λεωνίδα Θαρραλίδη που έφυγε πρόωρα (το καλοκαίρι του 2014) σε ηλικία 47 έτων ήταν αφιερωμένο το 32 συνέδριο της Ε.Μ.Ε.. 

Video1 απο 32ο συνέδριο της Ε.Μ.Ε στην Καστοριά

Video2 απο 32ο συνέδριο της Ε.Μ.Ε στην Καστοριά

Φωτογραφικό υλικό από το 32 συνέδριο της Ε.Μ.Ε στην Καστοριά

Ραντεβού τώρα στο 33ο συνέδριο του 2016 στα Χανιά. 

Όλα για τις μετεγγραφές - Δύσκολη υπόθεση φέτος

Η προθεσμία για την υποβολή (ηλεκτρονικών) αιτήσεων μετεγγραφών αρχίζει αύριο Τρίτη

Σε δύσκολη υπόθεση θα αποδειχθούν φέτος οι μετεγγραφές των φοιτητών παρά το γεγονός ότι διευρύνθηκαν οι δικαιοδόχοι σε όλα τα πανεπιστημιακά έτη αφού τα κριτήρια που έχουν τεθεί αναμένεται να «επιτρέψουν» την είσοδο στο ελάχιστο.

Σύμφωνα με ΤΑ ΝΕΑ, η προθεσμία για την υποβολή (ηλεκτρονικών) αιτήσεων μετεγγραφών αρχίζει αύριο Τρίτη και λήγει στις 13 Νοεμβρίου όπως ανακοίνωσε το υπουργείο Παιδείας. Οι αιτούντες έχουν δικαίωμα υποβολής μόνο μιας ηλεκτρονικής αίτησης μετεγγραφής για αντίστοιχη σχολή ή τμήμα έως δύο διαφορετικών ΑΕΙ μέσω της ιστοσελίδας του υπουργείου παιδείας (minedu.gov.gr). Για την είσοδό τους στην ηλεκτρονικής εφαρμογή θα χρησιμοποιήσουν το όνομα χρήστη (username) και τον κωδικό (password) που τους χορηγήθηκε από τη Γραμματεία της σχολής ή του τμήματός τους για τις ηλεκτρονικές υπηρεσίες του ιδρύματος στο οποίο φοιτούν. Οι ενδιαφερόμενοι είναι απαραίτητο να γνωρίζουν τον οκταψήφιο αριθμός υποψηφίου των Πανελλαδικών και οφείλουν να προσκομίσουν την εκτύπωση της ηλεκτρονικής τους αίτησης στο ίδρυμα υποδοχής του με τα σχετικά δικαιολογητικά.

Οι μετεγγραφές επιτρέπονται μόνο σε αντίστοιχα τμήματα πανεπιστήμιων και ΤΕΙ εφόσον το ίδρυμα υποδοχής εδρεύει σε άλλη περιφέρεια. Δεν επιτρέπεται μετεγγραφή σε αντίστοιχο τμήμα του ίδιου ΑΕΙ. Ο αριθμός των μετεγγραφόμενών ισούται με το 15% του συνολικού αριθμού των εισακτέων κατά το έτος 2015 – 2016 ανά σχολή ή τμήμα εκτός από την περίπτωση που οι σχολές ή τα τμήματα έχουν εισηγηθεί μεγαλύτερο ποσοστό. Δεν εμπίπτουν στο ως άνω ποσοστό των θέσεων τα τεκνά των θυμάτων τρομοκρατίας, φοιτητές με πιστοποιημένη αναπηρία (σωματική, διανοητική ή ψυχική) 76% και άνω και φοιτητές που πάσχουν από σοβαρές παθήσεις ή έχουν πραγματοποιήσει δωρεά οργάνων ή μυελού των οστών. Οι φοιτητές αυτοί έχουν δικαιώματα μετεγγραφής στην περιφέρεια όπου ανήκει η πόλη στην οποία ο γονέας ή ο έχων την επιμέλεια δηλώνει ως μόνιμη κατοικία ή στην πόλη που πιθανώς του παρέχεται ιατρική μέριμνα. Στην περίπτωση που συντρέχουν ιδιαίτερα σοβαρές και τεκμηριωμένα εξαιρετικές περιπτώσεις για χορήγηση κατ’ εξαίρεση μετεγγραφής δύναται να υποβληθεί σχετική αίτηση στην Επιτροπή κατ’ Εξαίρεση Μετεγγραφών.

Κριτήρια και Μόρια

Δικαίωμα μετεγγραφής χορηγείται στους αιτούντες κατά σειρά των μορίων που σωρεύουν από τα κάτωθι κριτήρια:

Α) Τα κατά κεφαλήν εισοδήματα του δικαιούχου και των γονέων του για το φορολογικό έτος 2014 δεν υπερβαίνουν αυτοτελώς και τα δύο το ποσό των 3.000 ευρώ (μόρια 5).

Β) Δεν υπερβαίνουν τα 6.000 ευρώ (μόρια 4).

Γ) Δεν υπερβαίνουν τα 9.000 ευρώ (μόρια 3)

Δ) Ορφανός και από τους δύο γονείς (μόρια 3)

Ε) Μέλος πολύτεκνης οικογένειας (μόρια 2)

ΣΤ) Μέλος τρίτεκνης οικογένειας (μόρια 1)

Ζ) Ορφανός από τον έναν γονέα (μόριο1)

Η) Τέκνο άγαμης μητέρας (μόριο 1)

Θ) Ο δικαιούχος έχει αδελφό ή αδελφή φοιτητή που φοιτά σε ίδρυμα διαφορετικής πόλης κατά μόνιμης κατοικίας των γονέων τους ή ανήκει στην κατηγορία των πολύδυμων τέκνων που συμμετείχαν το ίδιο σχολικό έτος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις (μόριο 1)

Ι) Ο δικαιούχος έχει γονείς, τέκνα, αδέλφια ή σύζυγο με πιστοποιημένη αναπηρία 67% και άνω ή πάσχουν από σοβαρές παθήσεις (μόριο 1).