Για το Μετάλλιο Fields στον Martin Hairer

Για το Μετάλλιο Fields στον Martin Hairer

Συγγραφέας: Γρηγόρης Παυλιώτης

Το Μετάλλιο Fields (Fields Medal) είναι η σπουδαιότερη διάκριση που μπορεί να λάβει ένας μαθηματικός. Έχει χαρακτηριστεί από πολλούς ως το «Nobel των μαθηματικών». Απονέμεται σε συνέδριο της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης που συνεδριάζει κάθε τέσσερα χρόνια.

Ένα από τα τέσσερα φετινά (2014) Fields Μedals απονεμήθηκε στον φίλο και επιστημονικό συνεργάτη μου την περίοδο 2003-2008, Martin Hairer. Αξιοποιώ τη φιλοξενία της ομάδας ΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ για να παρουσιάσω στα μέλη της, που είτε είναι μαθηματικοί είτε έχουν σχέση με τα μαθηματικά, τον άνθρωπο και το έργο του.

Martin Hairer

Ο Martin κατάγεται από την Αυστρία. Μεγάλωσε στην Γενεύη (Ελβετία) όπου ο πατέρας του είναι καθηγητής αριθμητικής ανάλυσης στο τμήμα μαθηματικών του εκεί Πανεπιστημίου. Ο ίδιος έδειξε το ενδιαφέρον του και την κλίση του για τις επιστήμες από πολύ μικρή ηλικία. Διάβαζε επιστημονικά άρθρα από την ηλικία των έξη ετών, ενώ στα δεκατέσσερα είχε γράψει προγράμματα στον υπολογιστή για την αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Ο πατέρας του σε ένα από τα βιβλία του ευχαριστεί τον έφηβο τότε γιο του για την βοήθεια που του πρόσφερε στη συγγραφή του ενός από τα πολλά και αξιόλογα βιβλία του.

Για τις ικανότητές του στον προγραμματισμό κέρδισε στην ηλικία των δεκαπέντε ετών το πρώτο βραβείο σε πανευρωπαϊκό διαγωνισμό για νέους. Είχε δημιουργήσει μία πλατφόρμα για τον σχεδιασμό και την κατασκευή ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Αυτή την περίοδο ξεκίνησε να γράφει ένα πρόγραμμα για επεξεργασία ήχου, το οποίο όταν ολοκληρώθηκε εκτιμήθηκε ως ένα από τα πλέον επιτυχημένα προγράμματα επεξεργασίας ήχου για υπολογιστές Μac και ονομάστηκε Amadeus (http://www.hairersoft.com/pro.html).

Ο Martin σπούδασε μαθηματικά και φυσική στο πανεπιστήμιο της Γενεύης. Το διδακτορικό του, υπό την επίβλεψη του φημισμένου Θεωρητικού και μαθηματικού Jean-Pierre Eckmann, αναφερόταν στις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Είναι το ερευνητικό πεδίο στο οποίο δούλεψε την περίοδο 2011-2014 και απέσπασε το Fields Medal.

Στην διπλωματική του εργασία μελέτησε με αυστηρό μαθηματικό τρόπο το πρόβλημα της προσέγγισης σε Θερμοδυναμική ισορροπία διάφορων μοντέλων μηχανικών συστημάτων μακράν της Θερμοδυναμικής ισορροπίας. Η εργασία αυτή από μόνη της οδηγεί σε μια πρώτης τάξης διδακτορική διατριβή.

Η εμπειρία του στον προγραμματισμό και η γνώση στατιστικής και αριθμητικής ανάλυσης τον βοήθησαν σημαντικά στη Θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων: Του επέτρεψαν να αποκτήσει πολύ ισχυρή διαίσθηση για την συμπεριφορά των εξισώσεων που μελέτησε, όπως για παράδειγμα της στοχαστικής εξίσωσης ΚΡΖ (Kardar-Parisi-Zhang), καθώς και την δυνατότητα να πραγματοποιεί πολύ εύκολα αριθμητικούς υπολογισμούς και προσομοιώσεις αυτών των εξισώσεων. Να μια ακόμα απόδειξη πως η διαφοροποίηση ανάμεσα σε εφαρμοσμένα και καθαρά μαθηματικά είναι τελείως τεχνητή.

Το βασικό του ερευνητικό πεδίο είναι η Θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Στο διδακτορικό του είχε οδηγηθεί σε σημαντικά αποτελέσματα πάνω στις εργοδικές ιδιότητες τέτοιων εξισώσεων. Το πρώτο αποτέλεσμα που τον έκανε διάσημο δημοσιεύτηκε το 2004 στο Annals οf Μathematics (σε συνεργασία με τον Jonathan Mattingly) στο οποίο απέδειξε πως οι εξισώσεις Νavier – Stokes της υδροδυναμικής σε δύο διαστάσεις έχουν πολύ καλές εργοδικές ιδιότητες, με την παρουσία πολύ μικρής στοχαστικής δύναμης. Από τότε είχε αναγνωριστεί ως ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς που εργάζονται στη Θεωρία των εξισώσεων αυτών.

Ένα από τα βασικά προβλήματα στη θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους (SPDEs) είναι ο ορισμός μιας κατάλληλης ενιαίας λύσης και η ανάπτυξη της θεωρίας ύπαρξης και μοναδικότητας λύσεων. Αυτό είναι ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα, επειδή ο θόρυβος που υπάρχει σε αυτές τις εξισώσεις οδηγεί σε λύσεις που δεν είναι ομαλές, δεν είναι παραγωγίσιμες με την κλασική έννοια του όρου. Πολλές από τις SΡDΕs που εμφανίζονται στη φυσική, για παράδειγμα στην ανάπτυξη επιφανειών (surface growth) και στην κβαντική Θεωρία πεδίου ανήκουν σε αυτή την κατηγορία των εξισώσεων, των οποίων οι λύσεις μπορούν να οριστούν μόνον ως γενικευμένες συναρτήσεις και κατανομές. Αυτό οδηγεί σε πολύ σοβαρά προβλήματα, σε μη γραμμικές συναρτήσεις, μιας και κάποιος πρέπει να υπολογίσει μη γραμμικές συναρτήσεις μη ομαλών συναρτήσεων.

Ο Martin για χρόνια μελέτησε εξισώσεις αυτού του τύπου, προσπαθώντας να αναπτύξει μια γενική Θεωρία ορισμού και μελέτης λύσεων για τέτοιες εξισώσεις. Η μεγάλη τομή ήρθε το 2011 όταν, χρησιμοποιώντας τεχνικές που σχετίζονται με την Θεωρία επανακανονικοποίησης της κβαντικής Θεωρίας πεδίου, μπόρεσε να δώσει μια επιτυχή λύση σε αυτό το πρόβλημα για την εξίσωση ΚΡΖ που εμφανίζεται στη Θεωρία της ανάπτυξης διεπιφανιών (evolution οf interfaces). Η εργασία αυτή που δημοσιεύτηκε στο Annals οf Μathematics και είναι πάνω από 100 σελίδες, δίνει λύση σε ένα πρόβλημα που παρέμενε ανοιχτό για πολύ καιρό.

Με βάση τις τεχνικές που εφάρμοσε για την επίλυση της εξίσωσης ΚΡΖ, ανέπτυξε μια πολύ γενική Θεωρία που ονόμασε theory ο regularity structures (δομές ομαλότητας). Αυτή η Θεωρία επιτρέπει την επίλυση διάφορων SPDΕs που εμφανίζονται σε εφαρμογές στη στατιστική μηχανική και στην κβαντική Θεωρία πεδίου. Η εργασία αυτή που δημοσιεύτηκε στο Inventiones Mathematicae, έχει έκταση πάνω από 230 σελίδες. Για την ανάπτυξη μιας γενικής Θεωρίας μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, ανάπτυξε ένα καινούριο λογισμικό, που του επιτρέπει να παρουσιάσει μη ομαλές συναρτήσεις σε αναπτύγματα, ανάλογα με το ανάπτυγμα Taylοr για ομαλές συναρτήσεις, ένα από τα βασικά εργαλεία του λογισμού Newton – Leibniz. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσει κανείς ότι η βασική ιδέα της Θεωρίας των regularity structures έχει αναλογίες με την Θεωρία των wavelets, βασικού τεχνικού εργαλείου στη Θεωρία της επεξεργασίας ήχου. Δεν είναι καθόλου σίγουρο ότι ένας μαθηματικός χωρίς την βαθιά γνώση εφαρμοσμένων μαθηματικών και μαθηματικής ανάλυσης που κατέχει ο Martin Θα μπορούσε να λύσει ένα τόσο δύσκολο πρόβλημα. Ένα πρόβλημα που τον οδήγησε στο μετάλλιο Fields.

Τελειώνω με κάτι ανθρώπινο. Παρά την αδιαμφισβήτητη μαθηματική του ιδιοφυία, είναι ένας απλός, καθημερινός άνθρωπος και καλός οικογενειακός φίλος. Τα Χριστούγεννα του 2004 τον φιλοξενήσαμε στο πατρικό σπίτι στην Θεσσαλονίκη, αυτόν και την γυναίκα του, την Xυe-Mei. Εντυπωσιάστηκαν από την πόλη και θαύμασαν τη Χαλκιδική στο σύντομο ταξίδι που πραγματοποιήσαμε εκεί. Απόλαυσαν τις πατροπαράδοτες σπιτικές λιχουδιές και γεύτηκαν τα τοπικά ποτά μας.