Ένα παιχνίδι με γύρους και ολίγη από ευκλείδεια γεωμετρία…

Ένα παιχνίδι με γύρους και ολίγη από ευκλείδεια γεωμετρία…

Μεταπροβληματάκι...

  Στην Λοξολάνδη το μπαρμπούτι είναι απαγορευμένο, στην θέση του, ο νομοθέτης  Λέων Μαντρόσκυλος καθιέρωσε ένα παιχνίδι με την ονομασία Τα τρία τρίγωνα .Το παιχνίδι αυτό παίζεται με τρεις τριγωνικές κάρτες.Η μια όψη  κάθε κάρτας είναι χρωματισμένη με κόκκινο χρώμα ενώ στην άλλη  όψη καθεμιάς είναι τυπωμένος ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Οι τρεις  αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι απλοί.

 Οι τρεις παίκτες ξεκινούν με μηδενικό σκορ πόντων.Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού  οι  κάρτες ανακατεύονται  και μοιράζονται,μια σε κάθε παίκτη.Ο αριθμός κάθε κάρτας προστίθεται ως  πλήθος πόντων στο σκορ του κάθε παίκτη και ξεκινά ο επόμενος γύρος.

  Σε μια σκοτεινή χαρτοπαικτική λέσχη,τρεις ύποπτοι τύποι,ο Αντωνίου,ο Βασιλείου και ο Γεωργίου έπαιξαν ένα παιχνίδι.Παίχτηκαν διαδοχικοί γύροι, τουλάχιστον δυο.Όταν τέλειωσε το παιχνίδι ο Αντωνίου είχε συγκεντρώσει 20 πόντους,ο Βασιλείου 10  πόντους  και ο Γεωργίου 9 πόντους.Επίσης είναι γνωστό ότι ο Βασιλείου  είχε  την κάρτα με τον μεγαλύτερο αριθμό στον τελευταίο γύρο.

1.Ποιος από τους τρεις παίκτες είχε στην κατοχή του,την κάρτα με τον μεσαίο από τους τρεις αριθμούς στο πρώτο γύρο;

2. Οι προδιαγραφές για την κατασκευή των τριγωνικών καρτών είναι συγκεκριμένες ως προς τις διαστάσεις,είναι επιβεβλημένο τα μήκη των πλευρών κάθε τριγωνικής κάρτας να είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί (σε cm) και μια γωνία να είναι διπλάσια από μια  άλλη.Ποιες είναι οι διαστάσεις (σεcm) κάθε κάρτας;

Για μια λύση ΠΑΤΗΣΕ ΕΔΩ 



  

(Για την ιστορία,το πρώτο μέρος του προβλήματος είναι θέμα από την μαθηματική ολυμπιάδα  του 1974 που διεξήχθη στην πρώην Ανατολική Γερμανία , ενώ το δεύτερο μέρος είναι θέμα από Ρουμάνικο μαθηματικό διαγωνισμό.)

Πηγή: Μαθη...μαγικα

Δείτε την αναλυτική μοριοδότηση στις απαντήσεις των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας

Δείτε την αναλυτική μοριοδότηση στις απαντήσεις των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας

Δείτε την αναλυτική μοριοδότηση στις απαντήσεις των Θεμάτων Μαθηματικών

Μοριοδότηση Μαθηματικών

Πηγή: http://omathimatikos.gr/

Ένα ξενοδοχείο αφιερωμένο σε μια σπουδαία μαθηματικό

Ένα ξενοδοχείο αφιερωμένο σε μια σπουδαία μαθηματικό

Credit: Scott Greenberg

« Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν δημοσιεύτηκε το 1915, αλλάζοντας για πάντα τον τρόπο που κατανοούμε τη σχέση ανάμεσα στο χώρο και το χρόνο. Όπως συμβαίνει συχνά, τα πρόσωπα που συμβάλουν σε μια επιστημονική ανακάλυψη είναι περισσότερα από εκείνο που αναγνωρίζουμε επίσημα». Η εισαγωγή του άρθρου της Sarah Guminski στο περιοδικό Scientific American δεν είναι τυχαία.

Η ίδια προσθέτει ότι παρόλο που είναι σχεδόν απίθανο να υπάρχει κάποιος που να μην έχει ακούσει ποτέ το όνομα του Αϊνστάιν, ελάχιστοι άνθρωποι γνωρίζουν ότι η ανάπτυξη της Θεωρίας της Σχετικότητας δεν θα ήταν δυνατή χωρίς τη συμβολή του έργου μιας σπουδαίας προσωπικότητας, της Γερμανίδας μαθηματικού Έμμυ Ναίτερ (1882 -1935). Παρά τις τεράστιες δυσκολίες που αντιμετώπισε σε όλη τη διάρκεια της ζωής της, λόγω του φύλου της και της εβραϊκής καταγωγής της, η Ναίτερ κατάφερε να μάς κληροδοτήσει σπουδαίο έργο: η εργασία της, στις αρχές της δεκαετίας του ’20, πάνω στη Θεωρία των Δακτυλίων έθεσε τα θεμέλια για τη σύγχρονη Αφηρημένη Άλγεβρα.

Ο Αϊνστάιν είχε αναγνωρίσει, επίσης, την προσφορά της, χαρακτηρίζοντάς την ως τη σημαντικότερη και πιο δημιουργική γυναίκα μαθηματικό της εποχής της. Το θεώρημά της(*), το οποίο εξηγεί τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ της συμμετρίας και των νόμων διατήρησης, ενώνει με αξιοθαύμαστη ακρίβεια αυτούς τους δύο εννοιολογικούς πυλώνες της φυσικής. Σήμερα, αρκετοί επιστήμονες αναγνωρίζουν τη συνεισφορά του θεωρήματός της στην ανάπτυξη της Θεωρίας της Σχετικότητας, καθώς και στις νέες πρωτοποριακές έρευνες, ακόμη και σε εκείνη που σχετίζεται με το μποζόνιο Higgs.

Ένα ξενοδοχείο για τη Ναίτερ

Δεν γνωρίζουμε πόσο συνεισφέρει στην αναγνώριση της Ναίτερ ένα ξενοδοχείο αφιερωμένο στην προσωπικότητά της. Σίγουρα, όμως, η ύπαρξή του μπορεί να βοηθήσει ορισμένους να ενδιαφερθούν περισσότερο για το έργο της, τη στιγμή μάλιστα που το όνομά της παραμένει άγνωστο ακόμη και σε κάποια μέλη της επιστημονικής κοινότητας.

Αναφερόμαστε στο Hotel EMC2 που άνοιξε τις πύλες του πριν από λίγο καιρό στο Σικάγο. Εμπνευστής της ιδέας, να αφηγηθεί την ιστορία της Ναίτερ με απρόβλεπτο τρόπο μέσα από το ξενοδοχείο του, είναι ο ξενοδόχος και λάτρης της επιστήμης Scott Greenberg. Από τους πίνακες ζωγραφικής, μέχρι το ντιζάιν και το μενού του εστιατορίου, όλα είναι εναρμονισμένα με την επιστήμη και την προσωπικότητα της Έμμμυ Ναίτερ. Την επιστημονική και εικαστική επιμέλεια του σχεδίου έχει αναλάβει η μαθηματικός και μουσικός Eugenia Cheng από το The Art Institute of Chicago.

Σκοπός της Cheng δεν είναι να διδάξει αφηρημένη άλγεβρα στους ενοίκους του Ξενοδοχείου, αλλά να προκαλέσει, όπως λέει, την περιέργειά τους μέσα από ελκυστικές παραστάσεις που συνδέονται με την επιστήμη και το πνεύμα μιας σπουδαίας μαθηματικού.

(*) Στους φυσικούς η Noether είναι γνωστή από το θεώρημα που φέρει το όνομά της, σύμφωνα με το οποίο, υπάρχει μια βαθιά σχέση ανάμεσα στις συμμετρίες και τις διατηρούμενες ποσότητες. Κάθε συμμετρία της φύσης συνεπάγεται και έναν νόμο διατήρησης και αντιστρόφως, πίσω από κάθε νόμο διατήρησης κρύβεται και μια συμμετρία.

Οι αρχές διατήρησης της ορμής, της ενέργειας και της στροφορμής συνδέονται με συμμετρίες ως προς τα αντίστοιχα συζυγή μεγέθη της θέσης, του χρόνου και της γωνίας.
Εφόσον οι φυσικοί νόμοι είναι ανεξάρτητοι:

• από τη θέση ή τις μετοπίσεις στον χώρο, συνεπάγεται η αρχή διατήρησης της ορμής,
• από τον χρόνο ή τις μετατοπίσεις στον χρόνο, συνεπάγεται η αρχή διατήρησης ενέργειας
• από τον προσανατολισμό στο χώρο ή τις περιστροφές, συνεπάγεται η αρχή διατήρησης της στροφορμής.

Εκτός όμως από τις εξωτερικές συμμετρίες, υπάρχουν και οι εσωτερικές συμμετρίες, όπως για παράδειγμα η συμμετρία βαθμίδας στην ηλεκτροδυναμική. Έτσι, η συμμετρία βαθμίδας συνεπάγεται την αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Από εσωτερικές συμμετρίες προκύπτει επίσης η διατήρηση του ισοτοπικού σπιν κ.ά.
Βασιζόμενοι στο θεώρημα της Noether, αφού εντοπίσουμε τις συμμετρίες ενός φυσικού συστήματος, στη συνέχεια μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αντίστοιχες διατηρούμενες ποσότητες.

Πηγή: Scientific American

Θέση και επισημάνσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για τα θέματα των εξετάσεων στα μαθηματικά

Θέση και επισημάνσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για τα θέματα των εξετάσεων στα μαθηματικά 

Μετά από αρκετό καιρό μια ξεκάθαρη τοποθέτηση της Ε.Μ.Ε. πολλά μπράβο από όλους μας !    

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34
106 79 ΑΘΗΝΑ
Τηλ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025
e-mail : info@hms.gr
www.hms.gr

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

Αθήνα, 19 Ιουνίου 2017 

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

  ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ

    Με την ευκαιρία της ολοκλήρωσης των εισαγωγικών εξετάσεων επισημαίνουμε κάποιες βασικές αρχές

    που πρέπει να τις  διέπουν:

    1. Τα θέματα πρέπει να καλύπτουν το μεγαλύτερο δυνατό εύρος της ύλης

    2. Τα θέματα πρέπει να είναι συμβατά με τη θεωρία του σχολικού βιβλίου

    3. Τα ερωτήματα πρέπει να έχουν κλιμάκωση ως προς τη δυσκολία ώστε

• Να επιτυγχάνεται η διακριτότητα της  βαθμολογίας
• Να υπάρχει η καλύτερη δυνατή αξιολόγηση
• Να αντιμετωπίζονται στο διαθέσιμο χρόνο

    4. Η διάρθρωση των θεμάτων πρέπει να επιτρέπει στους μαθητές του οικονομικού προσανατολισμού που  

        έχουν προετοιμαστεί σωστά να τα αντιμετωπίζουν σε ικανοποιητικό βαθμό, χωρίς να αποθαρρύνουν

        τους μαθητές του θετικού προσανατολισμού στην επιλογή του μαθήματος.

    5. Είναι προφανές ότι πολύ δύσκολα ή πολύ εύκολα θέματα δεν εκπληρώνουν τους παραπάνω στόχους.

Για το Διοικητικό Συμβούλιο
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Ο Πρόεδρος Ανάργυρος Φελλούρης Καθηγητής Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου

Ο Γενικός Γραμματέας Ιωάννης Τυρλής Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

Γιατί τα παιδιά τρέμουν τα μαθηματικά

ΤΟ ΔΕΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΓΙΑ ΝΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΘΕΙ

Γιατί τα παιδιά τρέμουν τα μαθηματικά

Μάθημα-φόβητρο για όλες τις γενιές, τα μαθηματικά εξακολουθούν να 

χωρίζουν τους μαθητές σε μυημένους και αμύητους. Οι ειδικοί εξηγούν πού 

οφείλεται η κλασική φοβία των αριθμών και πώς μπορούμε να την 

αντιμετωπίσουμε

Η ειδική ορολογία των μαθηματικών και τα αφηρημένα σύμβολα δυσκολεύουν 

τους μαθητές να κατακτήσουν τις διάφορες έννοιες

Γιατί οι μαθητές φοβούνται τα μαθηματικά; Και πώς θα ξεπεράσουν τους 

φόβους τους μπροστά σε ένα μάθημα το οποίο είναι άκρως απαραίτητο 

για μια επιτυχημένη επαγγελματική ζωή; Η μαθηματικοφοβία είναι το άγχος, 

ο φόβος, η ανασφάλεια που αισθάνονται οι μαθητές για το μάθημα των 

μαθηματικών και βέβαια δεν πρόκειται για μια παθολογική κατάσταση. 

Προξενείται από τις αρνητικές εμπειρίες των μαθητών στο μάθημα των 

μαθηματικών και επηρεάζει άμεσα τη μαθηματική τους επίδοση, μειώνοντάς τη 

στο ελάχιστο.

Το φαινόμενο όπως υποστηρίζουν οι ειδικοί επιστήμονες οφείλεται κατά κύριο 
λόγο στους εκπαιδευτικούς, στον τρόπο που διδάσκεται το μάθημα, στα 
«άχαρα» βιβλία των μαθηματικών αλλά και στο οικογενειακό περιβάλλον. 
Και στην Ελλάδα το πρόβλημα αυτό είναι διαδεδομένο ανάμεσα στον μαθητικό 
πληθυσμό, ενώ ταυτόχρονα από την άλλη πλευρά οι Ελληνες μαθητές που 
επιλέγονται από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία μέσα από διαγωνισμούς 
για μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου έχουν πολύ μεγάλες 

επιτυχίες στις Μαθηματικές Ολυμπιάδες.

Δέος

Οπως λένε οι εκπαιδευτικοί όταν τα παιδιά «μάθουν» από μικρά, δηλαδή 

από δημοτικό σχολείο να φοβούνται τα μαθηματικά, το πιθανότερο είναι ότι 

δεν θα πάψουν ποτέ να τα φοβούνται, θα έχουν χαμηλές επιδόσεις και 

πάντα θα νιώθουν δέος μπροστά από ένα πρόβλημα μαθηματικών, κάτι που θα 

έχει συνέπειες και στο επαγγελματικό τους μέλλον.

Η μαθηματικοφοβία αποτελεί ένα ευρέως διαδεδομένο φαινόμενο. Την ίδια 

στιγμή όμως τα μαθηματικά γίνονται όλο και πιο απαραίτητα στη ζωή μας, 
καθώς η τεχνολογική επανάσταση έχει δημιουργήσει ένα περιβάλλον όπου οι 
άνθρωποι που έχουν δυσκολίες με τις μαθηματικές έννοιες θα αποκλείονται 
σταδιακά από όλο και περισσότερες 

σημαντικές θέσεις στην αγορά εργασίας.

Οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι το πρόβλημα προέρχεται κυρίως από τον 

τρόπο που διδάσκονται τα μαθηματικά, χωρίς βέβαια να αποκλείουν και άλλους

 παράγοντες όπως:

• Η μαθηματική γλώσσα, η οποία απέχει πολύ από τη φυσική καθημερινή γλώσσα. 
• Η ειδική ορολογία των μαθηματικών και τα αφηρημένα σύμβολα δυσκολεύουν 
• τους μαθητές να κατακτήσουν τις διάφορες έννοιες.
• H ιδιαίτερη φύση του μαθήματος των μαθηματικών με την αλυσιδωτή 
• σειρά των εννοιών και την πυραμιδωτή - παραγωγική ανάπτυξή τους, 
• προξενεί ένταση στα παιδιά και δυσχεραίνει τη μαθησιακή διαδικασία σε 
• περίπτωση δημιουργίας κενών.
• Ο φόβος, που εδώ και χιλιάδες χρόνια έχει καλλιεργηθεί για τα μαθηματικά 
• και ότι αυτά μπορούν ν΄ αποτελέσουν κτήμα των λίγων και εκλεκτών.
• Η κακή διδασκαλία των μαθηματικών η οποία στηρίζεται στην απομνημόνευση
•  και αποστήθιση και όχι στην κατανόηση μέσω της ενεργητικής συμμετοχής 
• των μαθητών στη διαδικασία ανακάλυψης και κατασκευής της μαθηματικής 
• γνώσης.

Ακόμη και η διαδικασία αξιολόγησης των παιδιών, η ασκησιομανία και η 

βαθμοθηρία λειτουργούν αρνητικά.

• Η φοβική τάση για το μάθημα κατά το μεγαλύτερο ποσοστό δημιουργείται 
• στις τάξεις των μαθηματικών και οφείλεται κυρίως στην προβληματική 
• διδασκαλία και συμπεριφορά των διδασκόντων.
• 
  

Τι πρέπει να προσέχουν οι εκπαιδευτικοί

10 συμβουλές για να λύσουμε την εξίσωση του φόβου

Ενα τρικ για τους γονείς είναι τα μαθηματικά παιχνίδια που κάνουν το μάθημα 

ευχάριστο και ελκυστικό

• Να μη μαλώνουν τους μικρούς μαθητές όταν κάνουν λάθη στις ασκήσεις,
•  όταν δεν καταλαβαίνουν κάτι, αλλά να προσπαθούν να πείσουν τα παιδιά 
• ήρεμα να ξανασκεφτούν καλύτερα το πρόβλημα.
• Να τονίζουν στα παιδιά ότι ακόμη και οι μεγάλοι μαθηματικοί έκαναν λάθη, 
• αλλά από αυτά τα λάθη μάθαιναν και γίνονταν καλύτεροι.
• Να επιβραβεύουν κάθε προσπάθεια ακόμη και όταν δεν είναι επιτυχημένη και 
• να χρησιμοποιούν τεχνικές ώστε τα παιδιά να έχουν ενδιαφέρον για το μάθημα 
• και να συνεχίζουν τις προσπάθειες.
• Να δίνουν στους μαθητές αρχικά εύκολες ασκήσεις ώστε να τους τονώνουν την 
• αυτοπεποίθηση.
• Να τους δίνουν χρόνο για να κάνουν τις εργασίες και να μην τα πιέζουν.
• Να δημιουργούν ομάδες μαθητών που θα εργάζονται πάνω σε μαθηματικά 
• προβλήματα.
• Να χρησιμοποιούν εκπαιδευτικό υλικό για τη μετάβαση από το συγκεκριμένο 
• στο αφηρημένο.
• Να ενθαρρύνουν τους μαθητές ώστε να προσεγγίζουν το πρόβλημα με πολλούς 
• και διαφορετικούς τρόπους.
• Να ωθούν τα παιδιά που έχουν δυσκολία να ξαναδιατυπώνουν ένα πρόβλημα
•  με τα δικά τους λόγια, προκειμένου να εντοπιστούν πιθανές παρανοήσεις στα 
• προβλήματα.
• Να χρησιμοποιούν «μαθηματικά παιχνίδια» ώστε να κάνουν το μάθημα 
• ευχάριστο και ελκυστικό, κυρίως για τα παιδιά του Δημοτικού.
• 
  

ΑΠΟ ΤΟ ΕΘΝΟΣ

40 Συμβουλές για τα μαθηματικά στις πανελλαδικές εξετάσεις 2017

40 μαθηματικές συμβουλές για τις πανελλήνιες (2017)

40 μαθηματικές συμβουλές της τελευταίας στιγμής από τον Θανάση Κοπάδη. Μπορείτε να δείτε αλλά και να κατεβάσετε το αρχείο από τον σύνδεσμο που ακολουθεί:

40 συμβουλές της τελευταίας στιγμής στα μαθηματικά κατεύθυνσης