ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Το φροντιστήριο είναι ένα κομμάτι της εκπαίδευσης, που έχει αναλάβει την προετοιμασία των μαθητών για τις απαιτήσεις του ανταγωνιστικού εκπαιδευτικού μας συστήματος. Διαχρονικά το φροντιστήριο είναι ένας αγαπημένος χώρος των μαθητών. Σχεδόν όλοι έχουν ευχάριστες αναμνήσεις από τα χρόνια που φοιτούσαν σε φροντιστήριο, σχεδόν όλοι θυμούνται τον αγαπημένο τους καθηγητή, τον άνθρωπο που με περίσσεια υπομονή σταθηκε δίπλα τους, τόσο στις ευχάριστες στιγμές και τις επιτυχίες αλλά και στις άσχημες στιγμές, τις αποτυχίες. Είναι όμως όλα τα φροντιστήρια ίδια; Τα φροντιστήρια είναι επιχειρήσεις παροχής υπηρεσιών και αυτό  από μόνο του δίνει απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα. Οι υπηρεσίες που παρέχουν διαφέρουν από φροντιστήριο σε φροντιστήριο, γι'  αυτό ακριβώς το λόγο η επιλογή του φροντιστηρίου απαιτεί αρκετή προσοχή. Σίγουρα με  μια επίσκεψη στο φροντιστήριο δεν μπορούμε να ανακαλύψουμε όσα θα έπρεπε να γνωρίζουμε, για να κάνουμε τη σωστή επιλογή, ωστόσο μπορούμε να ελέγξουμε ορισμένα βασικά κριτήρια τα οποία στοιχειοθετούν την ποιότητα της παρεχόμενης γνώσης του φροντιστηρίου.

ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

- Είναι κοντά στο σπίτι μας

- Έχει χαμηλά δίδακτρα

- Κάνει δελεαστικές προσφορές

- Εκει πάει η παρέα

Το να είναι το φροντιστήριο κοντά στο σπίτι μας είναι βολικό. Πιο σημαντικό όμως είναι το φροντιστήριο που θα επιλέξουμε να ανταπεξέλθει στις απαιτήσεις μας. Αξίζει τον κόπο κάποια βροχερή μέρα να μεταφέρουμε το παιδί στο φροντιστήριο.

Τα χαμηλά δίδακτρα και οι προσφορές γίνονται από  φροντιστήρια που δεν έχουν μαθητές (προφανώς για κάποιο λόγο) στην προσπάθεια τους να δελεάσουν μαθητές και γονείς. Σίγουρα όμως  και υψηλά δίδακτρα δεν σημαίνει κατ' ανάγκη και καλό φροντιστήριο.

Η παρέα είναι ένας παράγοντας που επηρεάζει σημαντικά τους μαθητές στην επιλογή του φροντιστηρίου. Στο φροντιστήριο πηγαίνουμε, για να κάνουμε μάθημα. Η παρέα είναι καταλυτικός παράγοντας και βοηθάει στην εκπαιδευτική διαδικασία, μόνο στην περίπτωση που έχει τους ίδιους στόχους με εμάς.

ΣΩΣΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

- Το φροντιστήριο πρέπει να είναι νόμιμο και να έχει πιστοποίηση από τον   Ε.Ο.Π.Π.Ε.Π

- Το εκπαιδευτικό προσωπικό

- Οι χώροι του φροντιστηρίου

- Τα αποτελέσματα του φροντιστηρίου

Το να είναι ένα φροντιστήριο νόμιμο και πιστοποιημένο σημαίνει ότι τηρεί τις απαραίτητες προδιαγραφές για την λειτουργία του. Ίσως αυτό να σας βρίσκει αδιάφορους, όμως δεν έχετε ίσως  σκεφτεί ότι ένα παράνομο ή μη πιστοποιημένο φροντιστήριο σε περίπτωση ελέγχου θα σταματήσει τη λειτουργία του και θα πρέπει να βρείτε λύση, εν μέσω σχολικής χρονιάς, χωρίς να έχετε πολλές επιλογές. Επιλέξτε μόνο νόμιμους φορείς της ιδιωτικής εκπαίδευσης.

Το εκπαιδευτικό προσωπικό είναι η δύναμη και η ψυχή ενός φροντιστηρίου. Οι καθηγητές δεν είναι απλά εργαζόμενοι αλλά συνεργάτες στην προσπάθεια του φροντιστήριου να αποδόσει ουσιαστικό έργο. Ένα φροντιστήριο που κάθε χρόνο αλλάζει καθηγητές σημαίνει ότι ή αυτό δεν είναι ικανοποιημένο από τη δουλειά των εκπαιδευτικών ή ότι οι εκπαιδευτικοί του δεν είναι ικανοποιημένοι από αυτό. Στην πρώτη περίπτωση αντιλαμβανόμαστε ότι δεν έχει γίνει σωστή δουλειά στο φροντιστήριο και δεν είμαστε βέβαιοι ότι με τη νέα σύσταση θα έχει καλύτερα αποτελέσματα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση κανείς δεν μπορεί να μας εγγυηθεί ότι οι καθηγητές που αναλάμβάνουν την διδασκαλία των παιδιών μας θα είναι εκεί, για να συνεχίσουν το έργο τους τις επόμενες χρονιές ή ακόμη και να ολοκληρώσουν το έργο τους κατά τη διάρκεια της ίδιας σχολικής χρονιάς. Θα πρέπει να έχετε πρόσβαση σε όσα στοιχεία του προσωπικού σας αφορούν, ακόμη να ζητήσετε να  γνωρίσετε τους εκπαιδευτικούς που θα αναλάβουν την προετοιμασία των παιδιών σας, πριν την έναρξη των μαθημάτων. Ένα σωστό και οργανωμένο φροντιστήριο έχει σταθερό εκπαιδευτικό προσωπικό.

Μια επίσκεψη στο φροντιστήριο επιβάλλεται, όχι όμως μόνο στον χώρο υποδοχής, δείτε όλους τους χώρους του φροντιστηρίου, και ιδιαίτερα τους χώρους υγιεινής. Τα παιδιά σας θα περνούν πολλές ώρες στο χώρο αυτό.  Η υγιεινή και η καθαριότητα των χώρων και η ασφάλεια των παιδιών αποτελούν βασικό κριτήριο επιλογής.

Ο κύριος λόγος για τον οποίο πηγαίνετε σε ένα φροντιστήριο είναι η επιτυχία και η εκπλήρωση των στόχων του μαθητή/τριας. Το φροντιστήριο θα πρέπει να έχει δείγματα γραφής ότι μπορεί να ανταπεξέλθει στις απαιτήσεις σας. Δείτε με προσοχή τους επιτυχόντες μαθητές του φροντιστηρίου αλλά με μεγαλύτερη προσοχή τις βαθμολογίες που πέτυχαν οι μαθητές στα μαθήματα που παρακολούθησαν στο φροντιστήριο. Περισσότερη προσοχή στις βαθμολογίες, γιατί στους επιτυχόντες λογίζονται και μαθητές που μπορεί να παρακολούθησαν ένα μόνο, και σχετικά εύκολο, μάθημα στο φροντιστήριο. Η παρουσία του φροντιστηρίου στο χώρο των επιτυχιών πρέπει να είναι συνεχής.

Γιατί να επιλέξω το ''ΠΡΙΣΜΑ''

- Στο ''ΠΡΙΣΜΑ' θα βρεις έμπειρους και ικανούς εκπαιδευτικούς. Σχεδόν όλοι οι εκπαιδευτικοί μας έχουν ξεκινήσει, εδώ και αρκετά χρόνια, την επαγγελμαική τους καριέρα δίπλα μας.

- Επιλέγω ''ΠΡΙΣΜΑ'' για τα αποτελέσματά του. Κάθε χρόνο οι μαθητές μας επιτυγχάνουν κορυφαίες βαθμολογίες και εισάγονται σε υψηλόβαθμα Πανεπιστημιακά ιδρύματα.

- Έχουμε επενδύσει στην οργάνωση και την έχουμε επεκτείνει σε όλους τους τομείς. Οι διδασκαλίες τηρούν αυστηρό χρονοδιάγραμμα, η ύλη καλύπτεται έγκαιρα αφήνοντας ικανό χρόνο για ουσιαστική επανάληψη.

- Στο ''ΠΡΙΣΜΑ'' ενδυναμώνουμε και ενθαρύνουμε τους μαθητές μας, ώστε να αξιοποιήσουν τα δικά τους ''συγκριτικά πλεονεκτήματα''

- Στο ''ΠΡΙΣΜΑ'' πραγματοποιούνται προσομοιώσεις εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να αποκτά χρήσιμη εμπειρία

- Διαθέτουμε ό,τι πιο σύγχρονο υπάρχει σε εποπτικά μέσα διδασκαλίας, με τη χρήση των διαδραστικών πινάκων το μάθημα γίνεται πιο παραστατικό και πιο ευχάριστο. 

- Τα τμήματά μας δομούνται σύμφωνα με το επίπεδο των μαθητών, είναι ολιγομελή, χωρίς ιδιαίτερα αυξημένο κόστος. Με χαρά θα σας δεχτούμε στο χώρο μας, για να σας ενημερώσουμε για τα προγράμματα σπουδών, τα πακέτα διδασκαλίας και το κόστος σε κάθε βαθμίδα.

- Στο ''ΠΡΙΣΜΑ'' ενημερώνουμε γονείς και μαθητές για οτιδήποτε καινούριο προκύπτει στο χώρο της εκπαίδευσης. 

- Το ''ΠΡΙΣΜΑ''  είναι μέλος της Ο.Ε.Φ.Ε.  και μετέχει σε όλες τις δραστηριότητες  που διοργανώνει η Ομοσπονδία.

- Παρέχουμε στους μαθητές μας όλο το εγκεκριμένο υλικό μαθημάτων του Υπουργείου Παιδείας, corpus σημειώσεων των εκπαιδευτικών καθώς και δικές μας εκδόσεις.

- Είμαστε κοντά στους μαθητές και μετά την αποφοίτησή τους καθώς τους παρέχουμε κάθε βοήθεια για τη σωστή επιλογή των τμημάτων και τη συμπλήρωση και υποβολή του μηχανογραφικού τους δελτίου.

- ''ΠΡΙΣΜΑ'' γιατί θέλεις να πετύχεις το στόχο σου.

Από τους σημαντικότερους εν ζωή μαθηματικούς στον κόσμο

Από τους σημαντικότερους εν ζωή μαθηματικούς στον κόσμο

Ο Δημήτριος Χριστοδούλου είναι μαθηματικός και φυσικός, γεννήθηκε στην Αθήνα στις 19 Οκτωβρίου του 1951, ενώ διδάσκει στο Ομοσπονδιακό Πολυτεχνείο (ETH) της Ζυρίχης, ένα από τα μεγαλύτερα και σπουδαιότερα της  Ευρώπης.

Η έρευνά του αφορά τη Θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, της Διαφορικής Γεωμετρίας, της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας, των εξισώσεων του Einstein καθώς και της Μηχανικής των ρευστών.

Ήταν 17 ετών όταν άφησε πίσω την Ελλάδα για μεταπτυχιακές σπουδές στη φυσική στο Πανεπιστήμιο Princeton των ΗΠΑ, ήταν μόλις στη Β’ Λυκείου τότε. Ολοκλήρωσε το διδακτορικό του μέσα σε 3 χρόνια και το μέλλον ήταν μπροστά του.

Το 1972, αν και μόλις 22 ετών επέστρεψε στην Ελλάδα ως καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Αθηνών. Παραιτήθηκε μετά από μικρό χρονικό διάστημα για την επόμενη στάση της καριέρας του, ως ερευνητής στο CERN στη Γενεύη.

Έχει διδάξει σε πολλά Πανεπιστήμια, στο Syracuse της Νέας Υόρκης, στο Princeton, στο Ινστιτούτο Courant της Νέας Υόρκης και από το 2001 έως σήμερα βρίσκεται στο ETH στη Ζυρίχη. Έχει αναγορευθεί σε Επίτιμο Διδάκτορα σε πλειάδα Πανεπιστημίων όπως το  Brown University, το Boston University,  το Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης κ.α.

Η διδακτορική του διατριβή περιείχε την κεντρική ιδέα, που οδήγησε στη συνέχεια τον S. Hawking, τον J. Bekenstein και άλλους στη τελική διατύπωση της θερμοδυναμικής των Μελανών Οπών και της ακτινοβολίας Hawking.

Στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, έχει αποδείξει (σε συνεργασία με τον S. Kleinerman), την ευστάθεια του χωρόχρονου Minkowski στον οποίο ζούμε και έχει διατυπώσει αυστηρά θεωρήματα σχετικά με τον σχηματισμό των Μελανών Οπών.

Το 2011 του απενεμήθη το βραβείο Shaw, εκ των πιο σημαντικών βραβείων, γνωστό ως το «Νόμπελ της Ασίας», για το σύνολο της προσφοράς του στα Μαθηματικά, το 2008 το βραβείο Αστρονομίας Tomalla, το 1999 το βραβείο Bocher της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρίας, το 1993 το βραβείο του Ιδρύματος Mac Arthur για τα Μαθηματικά και τη Φυσική.

Τον Ιούλιο του 2000 δέχθηκε το παράσημο του Ταξιάρχη του Τάγματος του Φοίνικος από τον Πρόεδρο της Δημοκρατίας. (Το Τάγμα του Φοίνικος απονέμεται από την ελληνική κυβέρνηση σε Έλληνες πολίτες που υπερέχουν στις τέχνες και τις επιστήμες.)

Είναι μέλος της Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών των ΗΠΑ και της Ευρωπαϊκής Ακαδημίας Επιστημών.

ΒΙΝΤΕΟ

---

• 

 

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ

---

• 
• 
• 

Συγκεντρωμένα θέματα εξετάσεων Γυμνασίου και Λυκείου

Συγκεντρωμένα θέματα εξετάσεων Γυμνασίου και Λυκείου 

Δείτε συγκεντρωμένα θέματα προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων σταΜαθηματικά όλων των τάξεων του Γυμνασίου και της Α΄και Β΄Λυκείου σε ένιαία αρχεία. Τα θέματα αυτά επιλέχθηκαν από Γυμνάσια και Γενικά Λύκεια του Νομού Δωδεκανήσου (χωρίς την ταυτότητα των σχολείων και των εισηγητών) και στη συνέχεια αξιολογήθηκαν, στο μέτρο του δυνατού, ως προς το νομικό πλαίσιο, το περιεχόμενό τους και λύθηκαν για να επιβεβαιωθεί η επιστημονική τους  ορθότητα.

Κάντε κλικ στούς επόμενους συνδέσμους, αντίστοιχα, για να ανοίξετε τα θέματα

• όλα τα θέματα για το Γυμνάσιο σε ένα ενιαίο αρχείο:

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

KAI ΣΕ E-BOOK ΕΔΩ

• όλα τα θέματα της Α΄και Β΄Λυκείου σε ένα ενιαίο αρχείο

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α΄ ΚΑΙ  Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΝΙΑΙΟ ΑΡΧΕΙΟ)

ΚΑΙ ΣΕ E-BOOK ΕΔΩ

Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης

Τεχνική Επιμέλεια: Αρνικίου Δημήτρης

Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. (2016) ΚΑΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2016

Επαναληπτικά θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. (2016)

ΚΑΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2016

Ο.Ε.Φ.Ε. 2016 Β' ΦΑΣΗ

Α.Ε.Π.Π.

Εκφ.

Απαντ.

                                  Ο.Ε.Φ.Ε. 2015 Β' ΦΑΣΗ

Α.Ε.Π.Π.

Εκφ.

Απαντ.

ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΕΠΠ 2016

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Γ΄Λυκείου (απόφοιτοι)

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΕΠΠ 2015

Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Γ΄Λυκείου (απόφοιτοι)

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Οδηγίες και συμβουλές για το τέλειο γραπτό

Οδηγίες και συμβουλές για το τέλειο γραπτό

Οσο σαφείς και απλά διατυπωμένες είναι οι ερωτήσεις, άλλο τόσο απλά πρέπει να δίνονται και οι απαντήσεις

Μικρά «μυστικά» για ένα τέλειο γραπτό αποκαλύπτουν σήμερα στο «Εθνος-Παιδεία» οι καθηγητές που συμμετέχουν κάθε χρόνο στη βαθμολόγηση των γραπτών των Πανελλαδικών εξετάσεων. Μπορεί αυτό που πάνω απ’ όλα μετράει να είναι η ορθότητα των απαντήσεων αλλά υπάρχουν κάποιοι κανόνες οι οποίοι εφόσον τηρηθούν πιστά σας δίνουν... πόντους. Για παράδειγμα ένα γραπτό με καλή εμφάνιση έχει καλύτερη «αντιμετώπιση», καθώς οι βαθμολογητές δεν κουράζονται για να το διορθώσουν.

Βέβαια για να μην έχετε καμία ανησυχία θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι οι καθηγητές βαθμολογούν σύμφωνα με τις οδηγίες που έχουν και φροντίζουν να τις ακολουθούν πιστά γιατί φυσικά κανείς απ’ αυτούς δεν θέλει να αδικήσει τους μαθητές σε μια από σημαντικότερες στιγμές της ζωής τους. Ομως η άρτια αρχιτεκτονική του γραπτού (τάξη, αισθητική, ευανάγνωστες απαντήσεις) υποσυνείδητα προϊδεάζει θετικά τον βαθμολογητή.
Επίσης όλες οι ερωτήσεις πρέπει να απαντώνται με σαφήνεια, χωρίς πλεονασμούς και πληροφορίες που δεν έχουν καμία σχέση με το θέμα. Οσο σαφείς και απλά διατυπωμένες είναι οι ερωτήσεις, άλλο τόσο απλά πρέπει να δίνονται και οι απαντήσεις. Λίγα λόγια και καλά, λοιπόν, και καθαρό γραπτό χωρίς σημειώσεις, μουντζούρες και ορνιθοσκαλίσματα! Ολες οι ερωτήσεις πρέπει να απαντώνται με σαφήνεια, χωρίς πλεονασμούς και πληροφορίες που δεν έχουν καμία σχέση με το θέμα.
Μόλις φτάσετε στο εξεταστικό κέντρο
Φτάνοντας στο εξεταστικό κέντρο πρέπει να έχετε μαζί σας το δελτίο εξεταζομένου, την αστυνομική ταυτότητα ή διαβατήριο, δυο στυλό διαρκείας (μπλε ή μαύρο), μολύβι, γόμα και νερό ή αναψυκτικό. Σε καμία περίπτωση δεν παίρνει ο υποψήφιος μαζί του το κινητό ακόμη και αν είναι κλειστό.

Απαγορεύεται αυστηρά και οι επιτηρητές έχουν το δικαίωμα από τον νόμο να σας μηδενίσουν το γραπτό. Τα ίδια ισχύουν και για τα σκονάκια ή την προσπάθεια αντιγραφής. Επίσης όποιος δημιουργήσει πρόβλημα ή φασαρία επίσης μπορεί να αποβληθεί από την αίθουσα και να μηδενιστεί το γραπτό του.
Τι πρέπει να προσέξετε όταν πάρετε τα θέματα
Ενα από τα μεγαλύτερα προβλήματα που έχουν οι μαθητές μόλις πάρουν τα θέματα είναι η αίσθηση που έχουν ότι δεν ξέρουν τίποτα! Αυτό οφείλεται στο έντονο στρες και φυσικά δεν ισχύει για κάποιον που είναι καλά προετοιμασμένος και δούλεψε σκληρά ολόκληρη τη χρονιά.
Σε αυτήν την περίπτωση καλύτερα να σταματήσετε για λίγα λεπτά γιατί ο πανικός είναι αυτός που δημιουργεί παροδικό κενό... μνήμης. Χαλαρώστε και σιγά σιγά ξεκινήστε από τις ερωτήσεις που σας φαίνονται ευκολότερες.
Αυτό θα σας δώσει κουράγιο για να συνεχίσετε. Διαβάστε με μεγάλη προσοχή τα θέματα και μη βιάζεστε να δώσετε απαντήσεις. Πάντα χρειάζεται και μία δεύτερη σκέψη. Στο τέλος κάντε έλεγχο εάν απαντήσατε όλα τα ζητήματα.
Να ξέρετε ότι δεν είναι δυνατόν να γράψετε άριστα σε όλα τα μαθήματα. Κάπου οι επιδόσεις σας θα είναι χαμηλότερες. Μην απογοητευτείτε και μην εγκαταλείψετε την προσπάθεια. Στις εξετάσεις πρέπει να πάτε ήρεμοι και να ξέρετε ότι στη ζωή υπάρχουν πολλές ευκαιρίες για τους ανθρώπους που διαθέτουν δύναμη, θέληση και ιδέες.
Χαλάρωση τις ώρες πριν από την εξέταση
Οι μέρες των Πανελλαδικών διαρκούν αρκετά, γι’ αυτό, πέρα από την ψυχραιμία σας, πρέπει να διατηρήσετε τη φόρμα σας και να μη σας καταβάλει η σωματική κούραση. Να ξέρετε ότι δεν είναι εφικτό σε όλα τα μαθήματα να έχετε τέλειες επιδόσεις. Αν σε κάποιο μάθημα δεν τα καταφέρετε καλά, συνεχίστε... δυνατά στο επόμενο.
Οι καθημερινές επαναλήψεις είναι ωφέλιμες, αλλά με μέτρο. Τουλάχιστον δέκα ώρες πριν από τις εξετάσεις της ημέρας πρέπει να έχετε σταματήσει το διάβασμα. Και το κυριότερο, μην προσπαθήσετε την τελευταία στιγμή πριν πάτε στο εξεταστικό κέντρο να λύσετε καινούργιες ασκήσεις.
Οι συζητήσεις με συμμαθητές και φίλους για πιθανά θέματα το μόνο που θα πετύχουν είναι να σας αγχώσουν. Καλύτερα να συζητάτε για τον καιρό και τις διακοπές που έρχονται.
Τα SOS για την ώρα της εξέτασης
Τρεις ώρες που καθορίζουν, πολλές φορές, μια ολόκληρη ζωή είναι οι Πανελλαδικές εξετάσεις. Μια απλή ατυχία μπορεί να στοιχίσει στον νέο άνθρωπο, ακόμη και σε αυτόν που έχει μοχθήσει πολύ στο διάβασμα, να χάσει τη σχολή που επιθυμεί ή ακόμη και την εισαγωγή του σε οποιαδήποτε άλλη σχολή.
Οι εξετάσεις αυτές είναι σκληρές και άκρως ανταγωνιστικές και πάρα πολλά πράγματα κρίνονται και από τις λεπτομέρειες. Οι τρεις αυτές ώρες, λοιπόν, είναι εξαιρετικά κρίσιμες και από την ώρα που θα γίνει η εκφώνηση των θεμάτων μέχρι τη στιγμή που θα δώσετε το γραπτό σας πρέπει να ακολουθήσετε πιστά κάποιους κανόνες ώστε να μεγιστοποιήσετε τις επιδόσεις σας και να έχετε τα θεμιτά αποτελέσματα.
Μην κολλήσεις σε ένα θέμα
Μόλις έρθουν τα θέματα, ο υποψήφιος πρέπει να συγκεντρωθεί σε αυτά και να μην επιτρέψει σε τίποτε να αποσπάσει την προσοχή του, να διαβάσει μία φορά προσεκτικά όλα τα ζητήματα, ενώ ταυτόχρονα θα κρατά κάποιες πρόχειρες σημειώσεις, στις οποίες θα ανατρέξει αργότερα. Αμέσως μετά, προτείνεται ο υποψήφιος να επεξεργαστεί τα θέματα που γνωρίζει πολύ καλά και με κλιμάκωση να ασχοληθεί στο τέλος με όποιο θέμα φαίνεται δύσκολο ή δυσνόητο.
Δεδομένου ότι στα περισσότερα μαθήματα οι υποψήφιοι εξετάζονται σε τέσσερα θέματα, ο μέσος χρόνος που πρέπει να αφιερώσουν σε κάθε θέμα είναι περίπου 45 λεπτά της ώρας. Ομως, κάποια από τα θέματα θα φανούν στους προετοιμασμένους υποψηφίους πολύ απλά, συνεπώς ο χρόνος που θα απομείνει για τα απαιτητικά θέματα είναι αρκετός.
Σε κάθε περίπτωση, ο χρυσός κανόνας είναι να μην επιμείνει ο υποψήφιος για μεγάλο χρονικό διάστημα σε κάποιο θέμα που φαίνεται ότι δεν μπορεί άμεσα να επιλύσει, γιατί αυτό θα επιφέρει δύο αρνητικά:
Πρώτον, θα μειωθεί ο χρόνος που θα απομείνει για να αφιερώσει στα άλλα θέματα και, δεύτερον, η εμμονή στο ίδιο θέμα κατά κανόνα μειώνει τις πιθανότητες για την επίλυσή του. Συνεπώς, εάν ο υποψήφιος «κολλήσει» σε κάποιο θέμα, το αφήνει για λίγο, ασχολείται με τα υπόλοιπα και επανέρχεται σε αυτό αργότερα.
Ποια σημεία πρέπει να προσεχθούν
Βήμα βήμα οι κινήσεις για τη λύση των θεμάτων
Η πρώτη εντύπωση: Είναι σύνηθες όταν οι υποψήφιοι παίρνουν στα χέρια τους τα θέματα να νομίζουν ότι δεν ξέρουν τίποτα απολύτως. Συνήθως είναι μια λανθασμένη πρώτη εντύπωση, η οποία κατά κύριο λόγο οφείλεται στο άγχος.
Προσοχή στα ζητούμενα: Μετά την πρώτη γρήγορη ανάγνωση όλων των θεμάτων, επιδιώκουμε τη διερεύνηση των ζητουμένων.
α) Διαβάζουμε προσεκτικά κάθε θέμα 2-3 φορές.
β) Επισημαίνουμε τις λέξεις-κλειδιά.
γ) Χωρίζουμε σε σκέλη τα ζητούμενα, εφόσον υπάρχουν, γράφοντας 1, 2...3. Επαληθεύουμε ότι κατανοήσαμε το θέμα.
Ο,τι μας δυσκολεύει:
Δεν μένουμε σε κάτι που μας δυσκολεύει πολύ την ώρα της εξέτασης. Προχωράμε, απαντάμε σε ό,τι ξέρουμε και μετά αφοσιωνόμαστε σε αυτό.
Πώς απαντάμε:
Οργανώνουμε το υλικό της απάντησης που θα δώσουμε. Προσπαθούμε να είναι σαφώς διατυπωμένες οι απαντήσεις μας. Τα γράφουμε όλα, γιατί στις εξετάσεις δεν υπάρχουν αυτονόητα. Με άλλα λόγια, «τα ευκόλως εννοούμενα δεν παραλείπονται».
Ελεγχος:
Ο έλεγχος των απαντήσεων που δίνονται είναι απαραίτητος. Απαραίτητο είναι ακόμη να ελεγχθεί εάν έχουν καθαρογραφεί όλες οι απαντήσεις από το πρόχειρο στο καθαρό. Μην ξεχνάτε ότι υπήρξαν περιπτώσεις που υποψήφιοι δεν ήταν σίγουροι για την ορθότητα των απαντήσεών τους στο πρόχειρο ή παρέλειψαν να τις μεταφέρουν στο καθαρό.
Τεχνικές υποδείξεις:
Η εξέταση στα Μαθηματικά, στη Φυσική, τη Χημεία, γενικά σε μαθήματα της Θετικής και της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης χρειάζεται μια ειδική επισήμανση, προκειμένου να γίνουν κάποιες ιδιαίτερες και σημαντικές υποδείξεις, ώστε να μην υπάρχει σύγχυση για τον τρόπο βαθμολόγησης. Εάν το θέμα είναι χωρισμένο σε υποερωτήματα, τότε είναι δυνατόν σε ένα από τα αρχικά στάδια να υπάρξει κάποιο λάθος αριθμητικό ή άλλο. Στη συνέχεια, ο μαθητής πραγματεύεται σωστά το υπόλοιπο θέμα, χρησιμοποιώντας όμως το λάθος που προηγήθηκε.
Οι οδηγίες που έχει δώσει η κεντρική επιτροπή εξετάσεων για τα συγκεκριμένα ζητήματα είναι η εξής: ο μαθητής χάνει μόρια μόνο στο υποερώτημα στο οποίο έκανε το λάθος, ενώ τα μόρια των υπόλοιπων ερωτήσεων δεν επηρεάζονται από το λάθος αυτό.
Τα συνήθη λάθη:
Ακολουθεί ένας μίνι οδηγός για τα συνήθη λάθη που κάνουν οι υποψήφιοι των Πανελλαδικών εξετάσεων, τα οποία πολλές φορές οφείλονται σε υπερβολική σιγουριά.
• Λάθη εκφραστικά ή διατύπωσης. Παρατηρούνται κυρίως στα γλωσσικά μαθήματα.
• Λάθη από κατανόηση ή παρεξήγηση του ζητουμένου (σύγχυση εννοιών ή σχέσεων εννοιών, σύγχυση συνθηκών στην Ιστορία, φιλοσοφικών θεωριών κ.λπ.).
• Λάθη προσήμων στις ασκήσεις των Μαθηματικών και της Φυσικής.
• Λάθη στις χημικές αντιδράσεις του μαθήματος της Χημείας.

ΝΙΚΟΛΙΤΣΑ ΤΡΙΓΚΑ

«Μισώ τα μαθηματικά»

Μισώ τα μαθηματικά

Γιατί μισούμε τα μαθηματικά; Ο Γιώργος Θεοχάρης προτείνει ερμηνείες του (αρχέγονου;) μίσους και επιχειρηματολογεί με όρους αισθητικής υπέρ της κομψότητας των μαθηματικών.

Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

Ανάμεσα στα γνωστικά πεδία της εγκύκλιας παιδείας, φαίνεται πως τα μαθηματικά έχουν τον υψηλότερο δείκτη απέχθειας. Όλοι έχουμε ακούσει επανειλημμένως τη φράση «μισώ τα μαθηματικά». Υπάρχουν λόγοι να μισεί κανείς τα μαθηματικά; Ασφαλώς! Κατά πρώτον, τα μισεί όποιος μισεί το σχολείο ή/και τη γνώση συνολικά· αυτή η περίπτωση δεν ενδιαφέρει. Δεύτερον, τα μισεί όποιος ήταν τόσο άτυχος ώστε δεν βρέθηκε κατά την εκπαιδευτική του πορεία ούτε ένας εμπνευσμένος δάσκαλος να τον μάθει να τα αγαπάει· η περίπτωση ενδιαφέρει, αλλά εντάσσεται σε ένα πολύ ευρύτερο εκπαιδευτικό πρόβλημα που απαιτεί άλλη κουβέντα από την παρούσα. Τρίτον, τα μισεί όποιος πείστηκε από το (όποιο) περιβάλλον του ότι δεν έχει μυαλό για μαθηματικά – κυρίως τα κορίτσια, από το δημοτικό κιόλας· σε αυτή την κατηγορία των haters (ατάκα των οποίων είναι ο εντός εισαγωγικών προβοκατόρικος και σκοπίμως παραπλανητικός τίτλος) είναι αφιερωμένο (και στοχεύει) το παρόν σημείωμα.

Όταν σε πολύ νεαρή ηλικία βρεθείς αντιμέτωπος με την κυρίαρχη (ακόμα και τώρα, σήμερα) αντίληψη ότι τα μαθηματικά (και οι θετικές επιστήμες γενικότερα) είναι «αντρική» υπόθεση, είναι φυσικό να τα μισήσεις, αν είσαι κορίτσι. Αλλά και αγόρι να είσαι, αν σε πείσουν ότι δεν τα «παίρνεις» τα μαθηματικά, πάλι θα τα μισήσεις. Και όμως, οι πάντες μπορούν να κάνουν μαθηματικά, ως ένα βαθμό. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι για να κάνεις μαθηματικά υψηλού επιπέδου, χρειάζεται ταλέντο (ό,τι κι αν σημαίνει αυτό). Κάποιοι άνθρωποι είναι γεννημένοι για τα μαθηματικά, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι όλοι οι υπόλοιποι πρέπει να αποθαρρύνονται από την ενασχόλησή τους με αυτά (στον βαθμό που τους αναλογεί, πάντα· δεν γίνεται να ζητάς από μια γάτα να γαβγίσει) και να στερηθούν έτσι τη χαρά (ναι, τη χαρά!) που μπορούν να αντλήσουν από εκεί. Δεν χρειάζεται να έχεις το ταλέντο του Αρχιμήδη, του Newton, του Euler ή του Gauss (για πολλούς, οι κορυφαίοι των κορυφαίων) για να κάνεις μαθηματικά· αν ήταν έτσι, τα μαθηματικά θα ήταν ένα γνωστικό πεδίο για τους ελάχιστους, τους «εκλεκτούς» – αλλά δεν είναι· καταρχήν, όλοι (κι εδώ κυριολεκτώ) μπορούν να κάνουν κάποια μαθηματικά. Επίσης, είναι από τις επιστήμες που δεν σου ζητάει να επενδύσεις παρά μόνο χαρτί και μολύβι· και φαιά ουσία. Τέλος, μέσα από τη μαθηματική σκέψη (ανεξαρτήτως επιπέδου) είναι στατιστικά εξακριβωμένο ότι ο άνθρωπος βελτιώνεται σε κάθε τομέα του επιστητού, σχετικού και άσχετου. Μεγάλη κουβέντα θα πω, αλλά θα την πω γιατί την πιστεύω: τα μαθηματικά (όπως και κάθε είδους γνώση) σε κάνουν καλύτερο άνθρωπο.

Δεν θα επιχειρηματολογήσω υπέρ της εύκολα αποδείξιμης χρησιμότητας των μαθηματικών (το έχω κάνει στο πρόσφατο παρελθόν – βλ. εδώ)· αντίθετα, θα τα υποστηρίξω θεωρώντας τα παντελώς άχρηστα για την καθημερινή ζωή, όπως δηλαδή πιστεύουν οι περισσότεροι. Θα τα υποστηρίξω για αυτά καθ’ εαυτά, αγνοώντας την αδιαμφισβήτητη χρησιμότητά τους. Θα τα υποστηρίξω γιατί είναι αδικημένα στο μυαλό μυριάδων μαθητών διαχρονικά (και χωρίς να φταίνε γι’ αυτό ούτε οι μαθητές ούτε τα μαθηματικά). Θα τα υποστηρίξω αισθητικά.

Καταρχάς, τα μαθηματικά έχουν ένα πλεονέκτημα: την απόδειξη. Όταν ισχυρίζεσαι κάτι, πρέπει να το αποδείξεις – καλύτερα: σου προσφέρονται τα εργαλεία, έχεις τηδυνατότητα να το αποδείξεις. Φυσικά, υπάρχουν προβλήματα που παραμένουν άλυτα, αλλά είναι θέμα χρόνου (σε μερικές περιπτώσεις πολύ χρόνου) να λυθούν. Και βέβαια, όταν μιλάμε για αποδείξεις, δεν πρέπει να ξεχνάμε και τις αρνητικές αποδείξεις, εκείνες δηλαδή που αποδεικνύουν ότι κάτι δεν ισχύει (λ.χ., το Θεώρημα της Μη Πληρότητας του Gödel) – και αυτές αποδείξεις είναι, και μάλιστα σημαντικότατες. Σ’ αυτό το σημείο ίσως αντιτείνει κάποιος ότι όλες οι επιστήμες, λίγο-πολύ, κάνουν χρήση της απόδειξης. Σύμφωνοι, αλλά όχι με τον κατηγορηματικό τρόπο των μαθηματικών (για να μην αναφέρω καν ότι ως προς τη χρήση της απόδειξης προηγούνται και χρονικά των άλλων επιστημών). Τα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούν την απόδειξη με τον τρόπο που τη χρησιμοποιεί, λ.χ., η ιστορία, τα οικονομικά ή οι πολιτικές επιστήμες (και ούτε λόγος για «επιστήμες» όπως η κοινωνιολογία ή η ψυχολογία – ούτε και για τη φιλοσοφία, η οποία, αν μη τι άλλο, δεν διεκδικεί επιστημονικές δάφνες)· η μαθηματική απόδειξη είναι ρητή και κατηγορηματική: αν αποδειχτεί σωστή, δεν επιδέχεται αμφισβήτηση. «Έτσι έχουν τα πράγματα και ορίστε η απόδειξη». Τελεία και παύλα.

Ενίοτε δε, η μαθηματική απόδειξη είναι κομψή. Εδώ, στο αισθητικό κομμάτι, αξίζει να σταθώ λιγάκι παραπάνω. Ακόμα κι αν κάποιος παραμένει παράλογα αμετάπειστος ως προς τη χρησιμότητα των μαθηματικών, θα ήθελα να τον αναγκάσω να παραδεχτεί, κατ’ ελάχιστον, ότι κάποιες αποδείξεις είναι όμορφες. Αυτό είναι από μόνο του χρήσιμο (γιατί αν δεν είναι, τότε η μπάλα της ισοπέδωσης θα πάρει και τις καλές τέχνες!) Για να καταστήσω απολύτως σαφές το επιχείρημα της αισθητικής χαράς, θα χρησιμοποιήσω ένα κλασικό παράδειγμα από την ιστορία των μαθηματικών: την απόδειξη του Ευκλείδη για την ύπαρξη απείρου πλήθους πρώτων αριθμών. Για να συνεννοηθούμε, θα χρειαστεί να δώσω τους ορισμούς των πρώτων και των σύνθετων, αλλά –κατά τα άλλα– η απόδειξη είναι φιλική προς τους πάντες, ανεξαρτήτως μαθηματικής προπαιδείας. Άλλωστε, όπως ήδη ειπώθηκε, ο φιλόδοξος στόχος του παρόντος είναι να μεταπείσει όσους μισούν τα μαθηματικά. Για να δούμε…

Ως πρώτος ορίζεται ένας φυσικός αριθμός (όπου φυσικοί είναι οι ακέραιοι πλην του 0) μεγαλύτερος της μονάδας που έχει την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η μονάδα και ο εαυτός του.

Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας που δεν είναι πρώτος ονομάζεται σύνθετος. Π.χ., ο αριθμός 3 είναι πρώτος, επειδή διαιρείται μόνο από το 1 και το 3, ενώ ο 4 είναι σύνθετος επειδή διαιρείται, εκτός από το 1 και το 4, και από το 2.

(Το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Το 0 συχνά δεν θεωρείται καν φυσικός αριθμός, ενώ για το 1 υπάρχουν τεχνικοί λόγοι που μας αναγκάζουν να μην το θεωρούμε πρώτο αριθμό.).

Η ακολουθία των πρώτων μέχρι το 100 είναι η εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Όπως είναι φανερό, ο αριθμός 2 είναι ο μόνος ζυγός πρώτος αριθμός (γιατί όλοι οι υπόλοιποι ζυγοί, οι μεγαλύτεροι του 2, διαιρούνται, εκτός από το 1 και τον εαυτό τους, και από το 2 – τουλάχιστον). Συνεπώς, όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονοί.

Ευκλείδη Στοιχεία, απόσπασμα παπύρου του Οξυρύγχου, 1ος αι. μ.Χ.

Αυτά φτάνουν για να περάσουμε στην απόδειξη του Ευκλείδη για την ύπαρξη απείρου πλήθους πρώτων αριθμών, η οποία βρίσκεται στο Βιβλίο IX, Πρόταση 20 των Στοιχείωνi (3ος αιώνας π.Χ.). Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του είχε συγκεντρώσει περίπου όλη τη μαθηματική γνώση μέχρι και την εποχή του, συνεπώς δεν είναι απολύτως βέβαιο ότι η απόδειξη είναι δική του· από την άλλη, δεν υπάρχει κάποιος ιδιαίτερος λόγος να υποθέσουμε ότι δεν είναι δική του. Αυτό όμως μικρή σημασία έχει· εκείνο που είναι σημαντικό είναι η ίδια η απόδειξη. Δεν θα την παραθέσω κατά λέξη γιατί η γλώσσα του Ευκλείδη ξενίζει τον σύγχρονο αναγνώστη, ακόμα και σε μετάφραση· θα προτιμήσω μία διασκευή, αλλά η ουσία –εγγυημένα– παραμένει η ίδια.

Πρέπει να αποδείξουμε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι. Προς τούτο, ας υποθέσουμε ότι δεν είναι άπειροι, και ότι η πλήρης ακολουθία των 2, 3, 5 κ.λπ. τελειώνει στον αριθμό P, τον μεγαλύτερο πρώτο.

Με αυτή την υπόθεση κατά νου, ας θεωρήσουμε έναν αριθμό Q ο οποίος ορίζεται ως εξής:

Q = (2·3·5· … ·P) +1

Τώρα, υπάρχουν δύο δυνατότητες, σε ό,τι αφορά τον Q: είτε είναι πρώτος είτε δεν είναι.

Αν είναι πρώτος, τότε έχουμε ήδη βρει έναν πρώτο αριθμό που είναι σαφώς μεγαλύτερος από τον P, για τον οποίο είχαμε υποθέσει ότι είναι ο μεγαλύτερος πρώτος (δηλαδή, ο τελευταίος της ακολουθίας).

Αν, όμως, δεν είναι πρώτος; Δεν γίνεται να μην είναι πρώτος. Και να γιατί:

Οι πρώτοι είναι το υλικό με το οποίο χτίζονται όλοι οι αριθμοί μέσω πολλαπλασιασμού, και μάλιστα με τρόπο μοναδικό (θεώρημα που επίσης περιέχεται στα Στοιχεία: Βιβλίο IX, Πρόταση 14, σε συνδυασμό με Βιβλίο VII, Προτάσεις 30 & 32): λ.χ., ο αριθμός του κτήνους, το 666 = 2·3·3·37 (όλοι πρώτοι). Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός διαιρείται από έναν τουλάχιστον πρώτο (συνήθως, προφανώς από περισσότερους). Εντούτοις, ο Q, διαιρούμενος από τον κάθε πρώτο ξεχωριστά, μέχρι και τον P, τον υποτιθέμενο μεγαλύτερο πρώτο, αφήνει πάντα υπόλοιπο 1. Με άλλα λόγια, ο Qείναι πρώτος, γιατί διαιρείται μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό του. Ναι, αλλά εμείς είχαμε υποθέσει ότι ο P είναι ο μεγαλύτερος πρώτος και τώρα βλέπουμε ότι ο Q, που είναι σαφώς μεγαλύτερος από τον P, είναι κι αυτός πρώτος. Άρα η αρχική μας υπόθεση –ότι ο P είναι ο μεγαλύτερος πρώτος– είναι εσφαλμένη. Κι αφού μπορούμε ανά πάσα στιγμή να παράγουμε έναν πρώτο μεγαλύτερο από οποιονδήποτε άλλον πρώτο, έχουμε αποδείξει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι.

Μαγεία! Αν αυτή η απόδειξη δεν είναι ο ορισμός της κομψότητας, τότε δεν ξέρω τίποτα για τη συγκεκριμένη έννοια.

Γράφει σχετικά ο σπουδαίος μαθηματικός G.H. Hardy, απολύτως γοητευμένος: «Η απόδειξη έγινε με εις άτοπον απαγωγή, και η εις άτοπον απαγωγή, που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού. Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπίii. Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμα και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο τοπαιγνίδι».iii Έτσι ακριβώς!

Όπως είδατε, δεν χρειάστηκαν τίποτα τρομερά μαθηματικά στον Ευκλείδη για να αποδείξει την απειρία των πρώτων και να προσφέρει στην ανθρωπότητα ένα κομψοτέχνημα! Βέβαια, δεν είναι όλες οι αποδείξεις τόσο συγκλονιστικές μέσα στην ιδιοφυή τους απλότητα· υπάρχουν αποδείξεις που όντως απαιτούν τρομεράμαθηματικά και που τραβάνε σε μάκρος δυσθεώρητο. Εντούτοις, σε πρώτο επίπεδο, τα μαθηματικά, καίτοι η αυστηρότερη των επιστημών, έχουν μια χάρη ανυπέρβλητη. Σκέφτομαι όλα εκείνα τα παιδιά, αγόρια και κορίτσια (και περιττό να πω ότι τα κορίτσια είναι, διανοητικά μιλώντας, εξίσου εξοπλισμένα με τα αγόρια για να κάνουν μαθηματικά – ελπίζω ότι αυτό τουλάχιστον είναι πλέον αυταπόδεικτο) που ωθήθηκαν να μισήσουν τα μαθηματικά και θλίβομαι. Σκέφτομαι τη χαρά που απώλεσαν λόγω ενός ευεξήγητου μεν, απαράδεκτου δε, μίσους· την πνευματική χαρά – γιατί τα μαθηματικά είναι, καταρχήν, ένα πνευματικό παιχνίδι. Σκέφτομαι ότι αν είχε βρεθεί στον δρόμο τους ένας χαρισματικός εκπαιδευτικός (ή γονιός), ικανός να τους εμφυσήσει την αγάπη του για την επιστήμη, θα είχε αλλάξει, έστω και κατά τι, έστω και απειροελάχιστα, η ζωή τους προς το καλύτερο. Αλλά μη μασάτε: ποτέ δεν είναι αργά!

i Τα Στοιχεία (ή Στοιχείωσις, όπως ήταν στην πραγματικότητα ο τίτλος του) του Ευκλείδη είναι το πιο φημισμένο σύγγραμμα στην ιστορία των μαθηματικών και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της παγκόσμιας γραμματείας. Μόνο ηΒίβλος το ξεπερνάει σε αριθμό εκδόσεων. Πρόκειται για το βιβλίο που έμαθε τον κόσμο (κυριολεκτικά: τον κόσμο όλο) γεωμετρία. Αποτελείται από 13 “βιβλία” (κεφάλαια), μεταξύ των οποίων τα VII–IX περιέχουν τη θεωρία των αριθμών. Για όποιον ενδιαφέρεται, ολόκληρο το έργο σε σχολιασμένη μετάφραση (πρόκειται για την τρίτομη έκδοση του 2001 από το Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης), βρίσκεται στο Διαδίκτυο.

ii Γκαμπί: σκακιστικός όρος για τη “θυσία” κομματιού που όμως επιφέρει πλεονέκτημα.

iii G.H. Hardy, Η Απολογία ενός Μαθηματικού, μετάφραση: Δημήτης Καραγιαννάκης & Μιχάλης Λάμπρου, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1993, σ. 69.