Εικασία ABC: Το περίφημο προβλημα των μαθηματικών μάλλον λύθηκε

Εικασία ABC: Το περίφημο προβλημα των μαθηματικών μάλλον λύθηκε

Ο Ιάπωνας μαθηματικός Σινίσι Μοσιζούκι (Shinichi Mochizuki) ισχυρίζεται ότι έλυσε την «εικασίαABC», ένα πρόβλημα σχετικό με τους πρώτους αριθμούς το οποίο θεωρείται ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα....
της θεωρίας αριθμών.

Η απόδειξη που παρουσίασε ο 43χρονος μαθηματικός θα πρέπει τώρα να περάσει από τον έλεγχο της παγκόσμιας μαθηματικής κοινότητας. Οι επιστήμονες υποστηρίζουν πως αν η απόδειξη περάσει τον έλεγχο, θα αποτελέσει ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 21ου αιώνα στα μαθηματικά.

Η εικασία ABC προτάθηκε από τους Ντέιβιντ Μάσερ (David Masser) και Τζόσεφ Όστερλ (Joseph Oesterle) το 1985. Ίσως δεν είναι τόσο γνωστή όσο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Παρ’ όλ’ αυτά, οι μαθηματικοί ισχυρίζονται πως έαν όντως η απόδειξη ευσταθεί, πρόβληματα όπως το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορούν να λυθούν αυτόματα.

Η εικασία έχει να κάνει με την απλή εξίσωση a + b = c. Για μια απλοϊκή αλλά σχετικά τεχνική επεξήγηση της εικασίας, δείτε στο τέλος του άρθρου.

Όπως και πολλά ακόμη προβλήματα των μαθηματικών, έχει να κάνει με τους «πρώτους αριθμούς». Πρώτο αριθμό ονομάζουμε τον ακέραιο αριθμό που διαιρείται ακριβώς μόνο με το 1 και με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 είναι πρώτος αφού διαιρείται ακριβώς μόνο με το 1 (11/1=11) και τον εαυτό του (11/11=1). Ο αριθμός 14 δεν είναι πρώτος διότι, πέρα από το 1 και τον εαυτό του, διαιρείται ακριβώς με το 2 (14/2=7) ή το 7 (14/7=2).

Οι πρώτοι αριθμοί, παρ’ ότι δεν φαίνεται να έχουν κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, εν τούτοις βρίσκονται πίσω από όλα τα μεγάλα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Επίσης εμφανίζουν μια πληθώρα περίεργων ιδιοτήτων που ακόμη δεν καταλαβαίνουμε πλήρως.

Επεξήγηση της εικασίας:

Πέρα από τους πρώτους αριθμούς, η εικασία περιλαμβάνει αριθμούς που έχουν την εξής ιδιότητα: Δεν μπορούν να διαιρεθούν ακριβώς με το τετράγωνο κάποιου αριθμού. Ας τους ονομάσουμε «μη-τετραγωνικούς» αριθμούς. Παραδείγματος χάρη, ο αριθμός 16 δεν είναι μη-τετραγωνικός διότι διαιρείται από το 4 x 4 (16/(4x4)=1). Ο αριθμός 18 επίσης δεν είναι μη-τετραγωνικός διότι διαιρείται από το τετράγωνο του 3: 18/(3x3)=2. Ο 17 όμως είναι μη-τετραγωνικός αριθμός.

Τώρα ο πιο δύσκολος ορισμός: Ας ονομάσουμε «μη-τετραγωνικό» μέρος ενός τυχαίου αριθμού «ε», τον μεγαλύτερο μη-τετραγωνικό αριθμό που μπορούμε να φτιάξουμε πολλαπλασιάζοντας παράγοντες του ε που είναι πρώτοι αριθμοί. Ας συμβολίσουμε το μέρος αυτό: [ε]. Π.χ., οι παράγοντες του 18 είναι το 1, το 2, το 3, το 6, το 9 και το 18. Από αυτούς, πρώτοι αριθμοί είναι το 2 και το 3. Έχουμε λοιπόν [18]=2x3=6.

Αν μπορέσατε να καταλάβετε τα παραπάνω, τότε θα καταλάβετε και τη διάσημη εικασία. Η εικασία abc λέει λοιπόν

1. Πάρε τρεις ακέραιους αριθμούς a, b, c τέτοιους ώστε a + b = c.

2. Πάρε το μη-τετραγωνικό μέρος του γινομένου τους: [a x b x c].

3. Ο λόγος [axbxc]^v/c έχει πάντα μια ελάχιστη τιμή μεγαλύτερη του μηδενός για κάθε τιμή του v μεγαλύτερη του 1.

Π.χ. αν a = 3, b = 125, c = 128 τότε [a x b x c] = 30 και [a x b x c]^2/c=900/128 > 0.

Παρόλο που η διατύπωση της υπόθεσης φαίνεται τεχνική για τους μη ειδικούς, είναι εκπληκτικά απλή σε σχέση τα περισσότερα προβλήματα της θεωρίας αριθμών.